Стационарной задаче оптимального управления

2.4.1. Определение. Пусть дана однородная линейная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

где .

Однородная линейная система дифференциальных уравнений

(1)

где транспонированная матрица , называется сопряженной системо й для данной системы .

Общее решение системы (1) содержит произвольных постоянных:

,

т.е. содержат произвольный постоянный n -мерный вектор .

2.4.2. Определение. Функция , где – общее решение сопряженной системы (1), матрица управления, управление, называется функцией Понтрягина.

При фиксированном значении момента времени и постоянного вектора значение функции Понтрягина зависит от значения управления в точке : при выборе разных значений управления в фиксированной точке функция Понтрягина принимает разные значения.

Формулируем без доказательства принцип максимума Понтрягина:

2.4.3. Теорема (принцип максимума Понтрягина)

Пусть на отрезке при некотором постоянном n - мерном векторе допустимые значения управления (т.е. ) выбраны так, что выполняется принцип максимума Понтрягина:

При каждом фиксированном , за исключением, может быть, конечного числа значений :

1) значение функции Понтрягина является максимальным среди значений , принимаемых при всех других допустимых значениях управления :

;

2) это максимальное значение положительно:

Тогда управление на является оптимальным по быстродействию.

Далее продемонстрируем применение этого принципа на двух простейших механических задачах.