Пример 1

(В момент точка проходит через положение влево со скоростью . Нужно остановить ее в положении ).

□ Пусть . Решаем систему

(5)

Это – семейство парабол .

Пусть , (6)

Линия переключения . Находим закон движения из точки с момента по параболе семейства (6):

полагая , находим

;

Закон движения . (7)

Это движение происходит по параболе . Найдем точку пересечения с линией переключения. Пересечение происходит при .

Поэтому решаем систему уравнений .

Находим момент попадания в эту точку , используя закон движения (7): .

Находим закон движения из точки с момента по линии переключения, полагая в (5) : :

. Закон движения .

Наконец, находим момент попадания в начало координат :

.

Итак, оптимальная траектория

. Оптимальное уравнение .

Судя по изображенной фазовой траектории, управление движением происходило так:

В момент точка проходила положение со скоростью двигаясь влево. Чтобы остановить ее, включили двигатель на полную мощность (по оси ). Точка остановилась в положении с нулевой скоростью. Под тем же управлением точка двигалась до положения , где имела уже положительную скорость к моменту В этот момент, чтобы точка, набирая положительную скорость, не перескочила начало координат, управление переключили на . Это управление затормозило точку и к моменту остановило ее в начале координат. ■

Пример 2. Положим в примере 1

□ Тогда точка находится на линии переключения. Закон движения из этой

точки с момента

Находим момент попадания в точку Оптимальная траектория , .

Оптимальное управление . ■