2015-07-04
1144
Математический маятник – груз 
малых размеров с массой 
на невесомом стержне 
длиной 
находится вблизи верхнего (неустойчивого) положения равновесия. Требуется под действием ограниченной по величине силы, направленной перпендикулярно к оси маятника, за кратчайшее время привести маятник в положение равновесия с нулевой скоростью (трением пренебрегаем).
Обозначим 
угол отклонения маятника от положения равновесия в момент времени 
, отсчитываемый в направлении против часовой стрелки.
| Управление движением начинается в момент времени  при отклонении  , когда скорость отклонения  , и должно закончиться за наименьшее время  при отклонении  и скорости отклонения  .
|
Управлением является сила 
, крайние значения 
и 
означают включение двигателя на полную мощность в положительном и отрицательном направлении отклонения соответственно.
Составим уравнение движения маятника. Движение маятника по окружности происходит под действием силы 
(составляющая силы тяжести в направлении касательной) и управления 
с линейным ускорением 
. По второму закону Ньютона
.
Это – нелинейное (из-за 
) дифференциальное уравнение второго порядка с неизвестной функцией . Ограничиваясь положениями маятника, достаточно близкими к положению равновесия, мы можем заменить 
на 
(так как 
при малых ). Получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка
.
Для упрощения вычислений будем считать, что 
. Тогда имеем уравнение движения
(1)
с краевыми условиями 
