Приведение маятника в верхнее положение равновесия

Математический маятник – груз малых размеров с массой на невесомом стержне длиной находится вблизи верхнего (неустойчивого) положения равновесия. Требуется под действием ограниченной по величине силы, направленной перпендикулярно к оси маятника, за кратчайшее время привести маятник в положение равновесия с нулевой скоростью (трением пренебрегаем).

Обозначим угол отклонения маятника от положения равновесия в момент времени , отсчитываемый в направлении против часовой стрелки.

Управление движением начинается в момент времени при отклонении , когда скорость отклонения , и должно закончиться за наименьшее время при отклонении и скорости отклонения .

Управлением является сила , крайние значения и означают включение двигателя на полную мощность в положительном и отрицательном направлении отклонения соответственно.

Составим уравнение движения маятника. Движение маятника по окружности происходит под действием силы (составляющая силы тяжести в направлении касательной) и управления с линейным ускорением . По второму закону Ньютона

.

Это – нелинейное (из-за ) дифференциальное уравнение второго порядка с неизвестной функцией . Ограничиваясь положениями маятника, достаточно близкими к положению равновесия, мы можем заменить на (так как при малых ). Получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка

.

Для упрощения вычислений будем считать, что . Тогда имеем уравнение движения

(1)

с краевыми условиями