Основные элементарные функции, их свойства и графики.
Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится.
Мы перечислим все основные элементарные функции, приведем их графики и дадим свойства основных элементарных функций по схеме:
· область определения функции;
· поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты (при необходимости смотрите статью классификация точек разрыва функции);
· проверка на четность и нечетность;
· область значений функции;
· промежутки возрастания и убывания, точки экстремума;
· промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз), точки;
· наклонные и горизонтальные асимптоты;
· особые точки функций;
· особые свойства некоторых функций (например, наименьший положительный период у тригонометрических функций).
Основными элементарными функциями являются: степенная функция с целым показателем степени, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Степенная функция.
ЗАМЕЧАНИЯ:
· к основным элементарным степенным функциям относят лишь степенную функцию С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ, однако мы рассмотрим все возможные действительные значения показателя степени для общего представления;
· некоторые авторы при рассмотрении степенной функции ограничивают область определения интервалом . Мы же не будем придерживаться этого ограничения. Рекомендуем уточнить отношение Вашего преподавателя к этому вопросу во избежании недоразумений. В любом случае все изложенное будет верно (если при области определения рассматривать только этот интервал и отбрасывать все оставшиеся).
Рассмотрим вид и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени (17 вариантов показателя степени: четный положительный, четный отрицательный, нечетный положительный, нечетный отрицательный, иррациональный, масса вариантов дробно рационального показателя).