На релятивистскую добавку к массе действует поле тяготения

Релятивистская масса различна в разных системах отсчета. В некоторой системе отсчета масса частицы может во много раз превышать массу покоя, в то время как в системе отсчета, связанной с частицей, ее масса равна массе покоя. Встает вопрос о реальности релятивистской добавки массы? Есть ли опыты, в которых проявляется релятивистская масса? Релятивистская добавка проявляется экспериментально. Фотоны - это частицы с нулевой массой покоя. Вся их масса состоит из релятивистской добавки. На фотоны, как и на другие материальные тела, действует поле тяготения. Пролетая мимо звезды, под действием гравитационного притяжения к звезде фотон отклоняется.

Вопрос 1. Во время полного затмения Солнца на небосводе видны звезды. В окрестности Солнца их расположение чуть-чуть изменяется. Небосвод вокруг Солнца как бы растягивается. Звезды, видимое положение которых близко к Солнцу, слегка “отталкиваются” от Солнца. Объясните этот эффект.

Задача 2. Рассчитать максимальное значение углового смещения изображения звезды, обусловленного гравитационным отклонением излученного звездой света. Масса Солнца M=2×1030кг, радиус Солнца R»0.7 млн. км.

Решение. Отклонение светового луча возникает вследствие приобретения поперечного импульса p^. Он равен полному импульсу поперечной составляющей силы притяжения фотона к Солнцу - F^. Учтем следующие обстоятельства, сопровождающие распространение фотона: скорость фотона равна скорости света и не зависит от действующих на него сил; угол отклонения J мал – J<<1. Это означает, что при прохождении фотона мимо Солнца изменяется только направление импульса, но не его модуль p и p>>p^. По определению, приобретенная за бесконечно малое время dt поперечная составляющая импульса равна
, (1)
где dx - бесконечно малое перемещение фотона за время dt. Полный импульс поперечной составляющей силы притяжения F^ равен сумме по всем малым перемещениям -
. (2)
Пусть R - расстояние от траектории фотона до центра Солнца. Построим цилиндр радиуса R с осью, параллельной направлению распространения фотона. Если умножим обе части уравнения (2) на 2pR
, (3)
то можно заметить, что множитель 2pRSF^dx в правой части получившегося уравнения равен потоку вектора силы притяжения фотона к Солнцу.

Если mg -масса фотона, то сила притяжения его к Солнцу равна
, (4)
где M -масса Солнца. Как видно, имеет место кулоновская зависимость. Если по аналогии с электростатикой ввести поток вектора силы гравитационного притяжения, то можно получить аналог закону Гаусса: поток вектора силы через произвольную замкнутую поверхность, охватывающую источник поля, равен потоку через сферическую поверхность. Так как построенный нами цилиндр имеет бесконечную длину, поток вектора силы через боковую поверхность равен потоку через замкнутую поверхность или, по теореме Гаусса, равен 4pGmgM. Таким образом, уравнение (3) принимает вид
, (5)
которое дает
. (6)

Как было установлено на прошлом занятии, полный импульс равен . (7)
С учетом малости отклонения искомый угол оказываетсяравным J
(8)
Получилось немногим меньше одной угловой секунды. Такое, пусть малое отклонение, современными средствами измерения надежно обнаруживается. Данные измерений и расчеты согласуются между собой. [Строгий расчет по общей теории относительности, учитывающий изменение пространства и времени вблизи Солнца, дает результат в два раза больший.]

Вывод: вся масса фотона, являющаяся релятивистской, испытывает действие силы тяготения.

Интересно рассмотреть еще один экспериментальный факт, подтверждающий действие силы тяготения на фотоны. Можно измерять энергию фотонов в поле тяжести Земли, и убедиться, что при изменении его положения по высоте на h потенциальная энергия изменяется на mggh. Эта возможность появилась после открытия Мёссбауэром способа получения пучков фотонов со строго определенной частотой w. Чтобы разобраться в явлении, надо ознакомиться с одним из результатов квантовой физики. Известно, что фотоны одновременно являются и частицами, и электромагнитной волной. (Эта особенность сущности фотонов будет изучаться немного позднее.) Энергия фотона-частицы E связана с частотой электромагнитной волны соотношением , где – постоянная Планка, равная 1.05×10-34Дж×с. Энергию можно считать кинетической. Если выпустить фотоны снизу вверх, то по мере их подъема у них увеличивается потенциальная энергия. А так как полная энергия должна оставаться постоянной, то рост потенциальной происходит за счет убыли кинетической энергии. Это выражается в том, что с высотой уменьшается частота фотонов. С помощью эффекта Мёссбауэра удается измерить уменьшение частоты.

Задача 3. Ядро железа при переходе из возбужденного состояния в основное излучает фотоны с энергией 14.4 КэВ. Определите уменьшение частоты фотона на каждый километр высоты при его распространении снизу вверх.