Четырехвектор энергии-импульса

Если выражение полной энергии (5) переписать в виде
, (7)
то в глаза бросается сходство с выражением (6). Сходство усиливается тем, что величина во всех системах отсчета одна и та же. Детальные (но кропотливые) расчеты показывают, что при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую проекции импульса px, py, pz преобразуются точно так же, как проекции радиус-вектора x, y, z. Из этого можно заключить, что энергия и импульс являются временной и пространственной компонентами единого четырехмерного вектора. Модуль этого четырехвектора энергии-импульса равен . Понятно, почему величину m0 назвали инвариантной массой.

Энергия и импульс имеют разные размерности. Чтобы уравнять в правах компоненты четырехвектора энергии-импульса, используют величины: либо временную компоненту в форме E/c (тогда она имеет размерность импульса), либо пространственную в форме pc (тогда она имеет размерность энергии) - { E, pxc, pyc, pzc }, или { E/c, px, py, pz }.

При переходе в новую инерциальную систему отсчета компоненты четырехвектора энергии-импульса преобразуются точно так же, как компоненты четырехмерного радиуса-вектора события: импульсы - как пространственные координаты события, а энергия - как момент времени. При переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую для энергии и импульса частицы справедливы преобразования Лоренца.

Задача 5. Выпишите преобразования Лоренца для импульса и энергии частицы. Используя полученные преобразования, проверьте, что во всех системах отсчета величина E2-p2c2 принимает одно и то же значение.

Пусть штрихованная и лабораторная системы отсчета имеют взаимно параллельные оси координат и относительную скорость, направленную вдоль оси OX. Каждое из уравнений следует получать, сопоставляя требуемое преобразование с преобразованием соответствующей компоненты четырехмерного радиус-вектора, с учетом размерностей. Тогда
(8)
p`y=py; (9)
p`z=pz; (10)
(11)

Задача 6. Из выражения полной энергии (5) с очевидностью следует, что при уменьшении скорости частицы до нуля импульс уменьшается также до нуля, а энергия - до энергии покоя. Попытайтесь получить этот факт из преобразований Лоренца. Для этого движение частицы примите за движения новой системы отсчета и учтите, что скорость частицы можно выразить через импульс и полную энергию.

Решение. Итак, в уравнении преобразования энергии v - скорость частицы. В соответствии с определениями
, и px=p= , (pY= pZ=0 )
имеем
. (12)
Определим теперь энергию частицы в системе отсчета, в которой частица покоится, используя формулу преобразования энергии (11),
(13)
В цепочке уравнений (13) учтено, что , и использовано выражение полной энергии частицы через ее скорость.