2015-07-21
1434
нормального распределения при известном 
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение этого распределения известно.
Требуется оценить неизвестное математическое ожидание a по выборочной средней 
. Поставим своей задачей найти доверительный интервал, покрывающий параметр a
с надежностью 
.
Будем рассматривать выборочную среднюю как случайную величину 
( изменяется от выборки к выборке) и выборочные значения признака 
— как одинаково распределенные независимые случайные величины 
(эти числа также изменяются от выборки к выборке). Другими словами, математическое ожидание каждой из этих величин равно a и среднее квадратическое отклонение — .
Примем без доказательства, что если случайная величина X распределена нормально, то выборочная средняя , найденная по независимым наблюдениям, также распределена нормально. Параметры распределения X таковы:
M( )=a, ( ) = 
Потребуем, чтобы выполнялось соотношение 
, где — заданная надежность.
Пользуясь формулой 
и, заменив X на и на ( ) = , получим
,
где 
.
Найдя из последнего равенства 
, можем написать
= 2Ф (t).
Приняв во внимание, что вероятность P задана и равна , окончательно имеем (чтобы получить рабочую формулу, выборочную среднюю вновь обозначим через )
.
Смысл полученного соотношения таков: с надежностью можно утверждать, что доверительный интервал 
покрывает неизвестный параметр а; точность оценки .
Число t определяется из равенства 2Ф(t) = , или Ф(t) = /2; по таблице функции Лапласа находят аргумент t, которому соответствует значение функции Лапласа Ф(t), равное /2.
Замечание1. Оценку 
называют классической. Из формулы , определяющей точность классической оценки, можно сделать следующие выводы:
1) при возрастании объема выборки n число 
убывает и, следовательно, точность оценки увеличивается;
2) увеличение надежности оценки = 2Ф(t) приводит к увеличению t (Ф(t) - возрастающая функция), следовательно, и к возрастанию ; другими словами, увеличение надежности классической оценки влечет за собой уменьшение ее точности.
Пример 1. Случайная величина X имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением =3. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания а по выборочным средним , если объем выборки n=36 и задана надежность оценки 
= 0,95.
Решение. Найдем t. Из соотношения 2Ф(t) = 0,95 получим Ф(t) = 0,475. По таблице находим t = 1,96. Найдем точность оценки: =1,96×3/ 
=0,98
Доверительный интервал таков: ( — 0,98; + 0,98).
Замечание 2. Если требуется оценить математическое ожидание с наперед заданной точностью и надежностью , то минимальный объем выборки, который обеспечит эту точность, то, используя формулу , получаем
.
