Доверительные интервалы для оценки математического ожидания

нормального распределения при известном

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение этого распределения известно.
Требуется оценить неизвестное математическое ожидание a по выборочной средней . Поставим своей задачей найти доверительный интервал, покрывающий параметр a
с надежностью .

Будем рассматривать выборочную среднюю как слу­чайную величину ( изменяется от выборки к выборке) и выборочные значения признака — как одинаково распределенные независимые случайные вели­чины (эти числа также изменяются от выборки к выборке). Другими словами, математическое ожидание каждой из этих величин равно a и среднее квадратическое отклонение — .

Примем без доказательства, что если случайная вели­чина X распределена нормально, то выборочная средняя , найденная по независимым наблюдениям, также рас­пределена нормально. Параметры распределения X таковы:

M( )=a, ( ) =

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение , где — заданная надежность.

Пользуясь формулой и, заменив X на и на ( ) = , получим

,

где .

Найдя из последнего равенства , можем написать

= 2Ф (t).

Приняв во внимание, что вероятность P задана и равна , окончательно имеем (чтобы получить рабочую формулу, выборочную среднюю вновь обозначим через )

.

Смысл полученного соотношения таков: с надежностью можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр а; точность оценки .

Число t определяется из равенства 2Ф(t) = , или Ф(t) = /2; по таблице функции Лапласа находят аргумент t, которому соот­ветствует значение функции Лапласа Ф(t), равное /2.

Замечание1. Оценку называют классиче­ской. Из формулы , определяющей точность классической оценки, можно сделать следующие выводы:

1) при возрастании объема выборки n число убывает и, следо­вательно, точность оценки увеличивается;

2) увеличение надежности оценки = 2Ф(t) приводит к увеличе­нию t (Ф(t) - возрастающая функция), следовательно, и к возраста­нию ; другими словами, увеличение надежности классической оценки влечет за собой уменьшение ее точности.

Пример 1. Случайная величина X имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением =3. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожи­дания а по выборочным средним , если объем выборки n=36 и задана надежность оценки = 0,95.

Решение. Найдем t. Из соотношения 2Ф(t) = 0,95 получим Ф(t) = 0,475. По таблице находим t = 1,96. Найдем точность оценки: =1,96×3/ =0,98

Доверительный интервал таков: ( — 0,98; + 0,98).

Замечание 2. Если требуется оценить математическое ожида­ние с наперед заданной точностью и надежностью , то минималь­ный объем выборки, который обеспечит эту точность, то, используя формулу , получаем

.