Доверительные интервалы для оценки математического ожидания

нормального распределения при неизвестном

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение неизвестно. Требуется оце­нить неизвестное математическое ожидание а с помощью доверительных интервалов. Разумеется, невозможно вос­пользоваться результатами предыдущего параграфа, в ко­тором предполагалось известным.

Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину T (ее возможные значения будем обозначать через t):

,

которая имеет распределение Стьюдента с k = n - 1 сте­пенями свободы; здесь — выборочная средняя, S — «исправленное» среднее квадратическое отклонение, n — объем выборки

Число степеней свободы меньше объема выборки на число связей между переменными. Например, если найти среднее значение полученных в результате выборки значений - и зафиксировать это значение для соответствующих k случайных вели­чин , т. е. признать верным выражение для всех значений этих величин, то одну из величин всегда можно вы­разить через остальные. Это значит, что она оказалась связанной и си­стема случайных величин потеряла одну степень свободы.

Пользуясь распределением Стьюдента, найдем доверительный интервал

, по­крывающий неизвестный параметр а с надежностью .

Здесь случайные величины и S заменены неслучайными величинами и s, найденными по выборке. По таблице по заданным n и можно найти .

Пример. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n =16 найдены выбороч­ная средняя = 20,2 и «исправленное» среднее квадратическое откло­нение s = 0,8. Оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала с надежностью 0,95.

Решение. Найдем . Пользуясь таблицей, по = 0,95 и n = 16 находим =2,13.

Найдем доверительный интервал:

(20,2-2,13 0,8/ ; 20,2+2,13 0,8/ ) ^ (19,774; 20,626)

Распределение