Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического

отклонения нормального распределения

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. Требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое откло­нение по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению s. Поставим перед собой задачу найти доверительные интервалы, покрывающие параметр с заданной надежностью .

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение

, или .

Для того чтобы можно было пользоваться готовой таблицей, преобразуем двойное неравенство в равносильное неравенство .

Положив , получим

. ()

Остается найти q. С этой целью введем в рассмотрение случайную величину «хи»: , где n - объем выборки.

Величина распределена по закону с n - 1 степенями свободы, поэтому квадратный корень из нее обозначают . Плотность распределения имеет вид

Преобразуем неравенство () так, чтобы оно приняло вид . Вероятность его равна заданной вероятности :

Полагая, что q < 1, перепишем неравенство ():

Умножив все члены неравенства на , получим

Вероятность этого неравенства и неравенство () равна

Из этого уравнения можно по заданным n и найти q. Практически пользуются таблицей. Вычислив по выборке s и найдя по таблице q, получаем интервал, покрывающий с заданной надежностью

(1 +0,32).

При q > 1 неравенство () примет вид

Пример 3. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n = 25 найдено «исправ­ленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,8. Найти доверитель­ный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью = 0,95.

Решение. По таблице по данным = 0,95 и n = 25 найдем q = 0,32.

Искомый доверительный интервал (*) таков: 0,8 (1- 0,32) < < 0,8 (1+ 0,32)

или 0,544 < < 1,056. Практически для отыскания значений q > 1, соответствующих различным заданным n и , пользуются той же таблицей.

Пример 4. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=10 найдено «исправ­ленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,16. Найти довери­тельный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,999.

Решение. По таблице по данным = 0,999 и n =10 найдем q = l,8 (q > 1). Искомый доверительный интервал таков:

.