В отличие от метода Якоби, в котором вычисления всех компонент вектора -го приближения проводилось однообразно, в методе Гаусса-Зейделя для расчета -й компоненты следующего приближения используется уже вычисленное на этом, т.е. -м шаге, новые значения первых компонент:
Или, в компактном виде:
, i =1, 2, …, m. (2.12)
Достаточное условие сходимости этого метода, как и для методы Якоби, является условие диагонального преобладания:
, .
ПРИМЕР 2.6. Найдем решение СЛАУ из Примера 2.4 методом Гаусса-Зейделя.
.
Расчетные формулы:
.
Таблица итераций выглядит в данном случае следующим образом:
Номер итерации | ||||
1.25 | 0.25 | 0.075 | 1.25 | |
1.10625 | 0.32125 | 0.132375 | 0.14375 | |
1.056281 | 0.339756 | 0.151067 | 0.049969 | |
1.042355 | 0.344374 | 0.156168 | 0.013926 | |
1.038771 | 0.345504 | 0.157469 | 0.003584 |
Здесь
,
, и т.д.
Из таблицы видно, что нужная точность достигнута уже на 5-ой итерации вместо 11-ой по методу простой итерации.
При реализации в Excel расчетные формулы для примут вид: =1/$B$1*($G$1-$C$1*C6-$D$1*D6),
=1/$C$2*($G$2-$B$2*B7-$D$2*D6), =1/$D$3*($G$3-$B$3*B7-$C$3*C7).
|
|