Решение ищем в виде , где – базисные полиномы -й степени, для которых выполняется условие: . Убедимся в том, что если такие полиномы построены, то будет удовлетворять условиям интерполяции: Каким образом построить базисные полиномы? Определим
, .
Легко понять, что
, , и т.д.
Функция является полиномом –й степени от и для нее выполняются условия «базисности»:
, т.е. ;
.
Таким образом, нам удалось решить задачу о построении интерполирующего полинома -й степени, и для этого не нужно решать СЛАУ. Полином Лагранжа можно записать в виде компактной формулы: . Погрешность этой формулы можно оценить, если исходная функция имеет производные до порядка:
.
Из этой формулы следует, что погрешность метода зависит от свойств функции , а также от расположения узлов интерполяции и точки . Как показывают расчетные эксперименты, полином Лагранжа имеет малую погрешность при небольших значениях . При бόльших погрешность начинает расти, что свидетельствует о том, что метод Лагранжа не сходится (т.е. его погрешность не убывает с ростом ).
|
|
Рассмотрим частные случаи. Пусть , т.е. заданы значения функции только в двух точках. Тогда базовые полиномы имеют вид:
, , ,
т.е. получаем формулы кусочно-линейной интерполяции.
Пусть . Тогда:
, , ,
.
В результате мы получили формулы, так называемой квадратичной или параболической интерполяции.
ПРИМЕР 3.3. Задана таблица значений функции:
3,5 | ||||
-1 | 0,2 | 0,5 | 0,8 |
Требуется найти значение функции при , используя интерполяционный полином Лагранжа. Для этого случая , т.е. полином Лагранжа имеет третий порядок. Вычислим значения базисных полиномов при :
,
,
,
Итак, интерполирующая функция принимает в точке 1 значение -0,129.