Боровская теория атома водорода

Молодой датский физик Нильс Бор приехал в Кавендишскую лабораторию в Англии, которой тогда руководил уже известный в то время Резерфорд. На Бора большое впечатление произвели результаты опытов Резерфорда по рассеянию a -частиц на атомах золота. После взаимодействия a -частицы двигались так, как должны двигаться при рассеянии на частице с сосредоточенными в очень малой по размерам области зарядом и массой. Из опытов следовало, что атом похож на ядро-Солнце с движущимися вокруг него электронами-планетами. [Сам Резерфорд был в восторге от результатов. Под сильным впечатлением от опытов он говорил: “Теперь я знаю, как выглядит атом!”.]

Вопрос 4. Как, на ваш взгляд должны были бы быть распределены по направлениям рассеянные a -частицы, если бы была правильной модель атома Томсона? В чем должно быть главное отличие картины рассеяния соответствующей планетарной модели атома?

Для всех физиков было абсолютно непонятно, как может быть устойчивым атом в планетарной модели. Даже двигаясь по круговой траектории, электрон должен излучать. По расчетам Лоренца, все электроны в атоме должны попадать на ядро в течение 10-8с. Планетарный атом не может быть устойчивым.

Бор построил модель атома водорода, которая не противоречила результатам опытов Резерфорда и согласовывалась с комбинационным принципом. В основу своей теории Бор положил следующие утверждения (постулаты):
- электрон в атоме движется по стационарным круговым орбитам;
- на стационарных орбитах момент импульса L может принимать значения L n=nћ (момент импульса квантуется);
- атом излучает или поглощает электромагнитную волну при переходе с одной стационарной орбиты на другую, и энергия излучения равна Em-En.

Устойчивость атома Бором просто постулировалась.

Задача 5. Опираясь на постулаты Бора:
а) найдите зависимость полной энергии электрона в атоме водорода от угловой скорости движения по круговой орбите;
б) используя правило квантования энергии электрона в атоме Ln=nћ, получите формулу для возможных значений энергии электрона;
в) определите радиус первой (n=1) орбиты электрона;
г) выведите формулу для возможных значений энергии излучения атома водорода (проверьте, получается ли обобщенная формула Бальмера);
д) чему равна энергия ионизации атома водорода (в электронвольтах)?

Решение. а) Масса электрона много меньше массы протона, поэтому можно считать, что центр масс системы находится в центре протона и протон неподвижен. Уравнение движения электрона в этом приближении имеет вид
(6)
где r -расстояние между протоном и электроном на круговой орбите. Так как сила притяжения действует перпендикулярно к направлению движения электрона, угловая скорость вращения w остается постоянной. Из уравнения (6) выразим расстояние между электроном и протоном через угловую скорость:
(7)
Это выражение надо подставить в формулу полной энергии
(8)
Откуда следует
. (9)

б) Условие квантования дает уравнение
mer2w=nћ. (10)
Подстановка выражения радиуса орбиты через угловую скорость (7) дает
(11)
Из этого уравнения находим возможные значения угловых скоростей
(12)
Подставим возможные значения частоты вращения электрона в уравнение (9). При этом получим спектр значений энергии электрона:
(13)
Самое малое значение энергии имеет место при n=1. Оно равно
(14)
Состояние с наименьшим значением энергии называют основным состоянием.

в) Подставим в формулу для расстояния выражение частоты (12). Тогда
(15)

г) Энергия, отдаваемая атомом водорода излучению при переходе с уровня № n на уровень № m, равна
(16)
что согласуется с обобщенной формулой Бальмера. Множитель

связан с постоянной Ридберга wR:
(17)
Подстановка численных данных в формулу для постоянной Ридберга согласуется с экспериментальным значением wR. Постоянную ER также называют постоянной Ридберга. Эта постоянная измеряется обычно в электронвольтах, она равна 13, 6 эВ.

д) Энергия ионизации равна работе, которую надо совершить, чтобы увеличить энергию электрона от энергии основного состояния до нуля, то есть
(18)

Задача 6. Электрон с позитроном могут образовывать водородоподобную систему (позитроний). Как изменятся ответы на вопросы а - д предыдущей задачи для такой системы?
Указание: учтите, что электрон и позитрон вращаются вокруг общего центра масс, в системе центра масс частицы согласованно движутся как одна частица с приведенной массой .