Независимость событий

При анализе рисков часто требуется установить сам факт зависимости между исследуемым фактором риска и показателями здоровья. При анализе множественных факторов риска необходимо также учитывать возможные зависимости между ними (например, взаимосвязи между уровнями токсичного вещества в атмосферном воздухе, воде и почве, обусловленными общим источником загрязнения). Методы количественного анализа подобных эффектов основаны на следующем вероятностном определении независимости.

События А и В (оба имеющие ненулевую вероятность) называются независимыми, если вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей:

P(AB) = P(A) P(B)

Из этого определения следует, что для независимых событий условная вероятность события А при условии В равна безусловной вероятности А:

P(A|B) =

Точно так же условная вероятность В при условии А равна безусловной вероятности В:

P(A|B) =

Более того, выполнение любого из условий Р(А|В) = Р(А) или Р(В|А) = Р(В) влечет за собой выполнение соотношения Р(АВ) = Р(А)Р(В), определяющего независимость, т.е. равенство условных вероятностей безусловным является необходимым и достаточным условием независимости событий. Поэтому на практике сравнение условных вероятностей с безусловными используют в целях выявления взаимозависимостей между определенными событиями, в частности, между под­верженностью действию некоторого фактора риска и заболеваемостью.

Используя данные вышеприведенного примера, рассмотрим методы определения взаимозависимости факторов с помощью приведенных выше формул.

Пример 2. Существует ли зависимость между наличием доминантного признака и гомозиготностью для потомства гетерозиготных родителей?

Решение. Проверку предположения о независимости событий можно провести двумя способами: используя непосредственно определение независимости или же путем сравнения условных вероятностей с безусловными. В первом случае отметим, что вероятность наличия доминантного признака равна 3/4 (как показано в примере 1), вероятность гомозиготности — 1/2, а вероятность пересечения этих событий — 1/4. Поскольку 1/4 ≠ 3/4 · 1/2, то события не являются независимыми. Условная вероятность гомозиготности при наличии доминантного признака равна, как показано в предыдущем примере, 1/3, т. е. отличается от безусловной вероятности гомозиготности, равной 1/2, откуда следует тот же вывод о зависимости событий.