2015-07-21
628
Обов’язкові завдання: 1; 2; 3.
Завдання 1. Обчислити площі фігур, обмежених наступними лініями.
В.1. а) 
б) 
в) 
В.2. а) 
б) 
в) 
В.3. а) 
б) 
y 
в) 
В.4. а) 
б) 
в) 
В.5. а) 
б) 
в) 
В.6. а) 
б) 
в) 
В.7. а) 
б) 
в) 
В.8. а) 
б) 
в) 
В.9. а) 
б) 
в) 
В.10. а) 
б) 
в) 
В.11. а) 
б) 
в) 
В.12. а) 
б) 
в) 
В.13. а) 
б) 
в) 
В.14. а) 
б) 
в) 
В.15. а) 
б) 
в) 
В.16. а) 
б) 
в) 
В.17. а) 
(І чверть);
б) 
в) 
(поза колом 
).
В.18. а) 
б) 
в) 
В.19. а) 
б) 
в) 
В.20. а) 
б) 
в) 
В.21. а) 
б) 
в) 
В.22. а) 
б) 
в) 
В.23. а) 
б) 
в) 
В.24. а) 
б) 
в) 
В.25. а) 
б) 
в) 
В.26. а) 
б) 
в)
В.27. а) 
б) 
в) 
В.28. а) 
б) 
в) 
В.29. а) 
б) 
в) 
В.30. а) 
б)
в) 
Завдання 2. Обчислити довжини дуг кривих, заданих наступними рівняннями.
В.1. а) 
б) 
в) 
В.2. а) 
б) 
в) 
В.3. а) 
б) 
в) 
В.4. а) 
б) 
, 
.
в) 
.
В.5. а) 
від 
до 
;
б) 
в) 
В.6. а) 
між точками її перетину з OY;
б) 
в) 
В.7. а) 
від до 
;
б) 
в) 
В.8. а) 
від до 
б) 
в) 
В.9. а) 
що відсікається прямою 
;
б) 
в) 
В.10. а) 
від 
до 
;
б) 
в) 
В.11. а) 
від 
до 
б) 
в) 
В.12. а) 
від 
до ;
б) 
в) 
В.13. а) 
б) 
в) 
В.14. а) 
від 
до 
;
б) 
в) 
|
|
|
В.15. а) 
від 
до 
б) 
в) 
В.16. а) 
від до 
б) 
в) 
В.17. а) 
від до
б) 
в) 
В.18. а) 
б) 
в) 
В.19. а) 
від до 
б) 
в) 
В.20. а) 
від 
до 
;
б) 
в) 
В.21. а) 
від 
до 
б) 
в) 
В.22. а) 
від до 
б) 
в) 
В.23. а) 
б) 
в) 
В.24. а) 
б) 
в) 
В.25. а) 
б) 
в) 
В.26. а) від 
до 
б) 
в) 
В.27. а) 
б) 
в) 
В.28. а) 
б) 
в) 
В.29. а) 
б) 
в) 
В.30. а) 
б) 
в) 
Завдання 3. Обчислити об’єми тіл, створених обертанням фігур, обмежених графіками наступних функцій навколо вісі OX або OY.
В.1. а) 
б) 
В.2. а) 
б) 
В.3. а) 
б) 
В.4. а) 
б) 
В.5. а) 
б) 
В.6. а) 
б) 
В.7. а) 
б) 
у першій чверті, (OY).
В.8. а) 
б) 
у першій чверті, (OY).
В.9. а) 
б) 
В.10. а) 
б) 
В.11. а) 
б) 
В.12. а) 
б) 
В.13. а) 
б) 
у першій чверті (OX).
В.14. а) 
б) 
у першій чверті, (OX).
B.15. a) 
x = 12(ОХ);
б) x = 2 cos t, y = 3 sin t, 
, 
(OY).
B.16. a) y = tg x, x = 
, y = 0 (OX);
б) x = 
, 
, 
(OY).
B.17. a) 
, x = -1, y = 0(OX);
б) x = t – sin t, y = 1 – cos t, 
(OX).
B.18. a) 
, y = 0, x = 1, x = 3 (OY);
б) x = 2 R cos t – R cos 2 t, y = 2 R sin t – R sin 2 t (OX).
B.19. a) 
, y = x, x = 0, x = 2 (OY);
б) 
, 
(OX).
B.20. a) xy = -4, y = 0, x = -4, x = -1 (OX);
б) x = t, 
, x = 0, y = 9 у першій чверті (OY).
B.21. a) y = sin 2 x, y = 0, 
(OX);
б) 
, y = t, y = 0, x = 0 у другій чверті (OY).
B.22. a) 
, x = 1, y = 1 (OX);
б) x = 3 (t – sin t, y = 3 ( 1 – cos t, y = 0, x = 3 π, (OX).
B.23. a) 
, y = 0, x = 0, x = 1 (OX);
б) x = t, 
, x = 0, y = 0, у першій чверті (OY).
B.24. a) y = ln x, x = 5, y = 0 (OY);
б) x = a cos t, y = b sin t (OX).
B.25. a) 
, x = 4, y = 0 (OY);
б) 
, y = t+ 1, y = 0, x = 8, у першій чверті (OX).
B.26. a) 
, x = 3;
б) x = 4 (t – sin t), y = 4 (1 – cos t), y = 0, x = 4 π, (OX).
B.27. a) y = ctg x, 
(OX);
б) x = 2 (cos t + t sin t), y = 2 (sin t – t cos t), y = 0, 
(OX).
B.28. a) y = sin 5 x, 
(OY);
б) x = 2a cos t – a cos 2t, y = 2a sin t – a sin 2t (OX).
B.29. a) 
(OY);
б) x = a cos t, y = a sin 2 t, y = 0, 
(OX).
B.30. a) 
, y = 0 (OY).
б) x = 2 cos t, y = 2 sin t (OX).
Завдання 4. Фізичні та механічні додатки.
B.1. Обчислити роботу, яку необхідно витрати, щоб викачати воду, що заповнює напівсферичний резервуар радіусом R = 0,4 м.
|
|
|
B.2. Обчислити силу тиску на прямокутні ворота шлюзу шириною а = 22 м і глибиною b = 14 м, якщо їх верхня грань лежить на поверхні води.
B.3. Обчислити роботу, яку потрібно витрати, щоб викачати воду з вертикальної циліндричної бочки, яка має радіус основи R = 0,5 м і висоту h = 2 м.
B.4. Знайти координати центра ваги (
) плоскої фігури, обмеженої лініями: y = sin x, x = 0, 
, y = 0.
B.5. Знайти статистичні моменти (
) плоскої фігури, обмеженої лініями: xy = -5, x = -4, x = -1, y = 0.
B.6. Обчислити роботу, яку необхідно витрати, щоб відкачати воду з конічної посудини, оберненої вершиною вниз, радіус основи якої R = 5 м, висота H = 15 м.
B.7. Обчислити силу, з якою вода тисне на греблю з формою перерізу рівнобічної трапеції з основами: a = 6,3 м, b = 10,2 м і висотою h = 4 м.
B.8. Обчислити тиск води на вертикальну стінку, яка має форму півкру-гу радіусом R = 4 м, діаметр якого знаходиться на поверхні води.
B.9. Знайти центр ваги однорідної фігури, обмеженої параболами 
.
В.10. Знайти центр ваги однорідної дуги, астроїди 
, розміщеної праворуч осі OY.
В.11. Квадратна пластина занурена вертикально у воду так, що одна з її вершин лежить на поверхні води, а одна з діагоналей паралельна поверхні. Сторона квадрата дорівнює 5 метрів. З якою силою вода тисне на кожну сторону квадрата?
В.12. Циліндричний резервуар з горизонтальною віссю і радіусом 3 дм наполовину заповнений ртуттю (питома вага 13,6). Визначити тиск ртуті на кожну з плоских вертикальних стінок резервуара.
В.13. Знаючи, що розтягнення (подовження) пружини пропорційно силі, що розтягує, знайти роботу, витрачену при розтягненні пружини на 4 см, якщо для її подовження на 1 см потрібна сила 30 н.
В.14. Квадрат зі стороною 6 м вертикально занурений у воду так, що одна з його сторін лежить на поверхні води. Визначити тиск на кожну зі сторін квадрата.
В.15. Знайти координати центра ваги 
плоскої фігури, обмеже-ної лініями 
, x = 0, x = е.
B.16. Знайти статистичні моменти плоскої фігури, обмеженої лінією: x = 2 cos 
t; y = 2 sin t.
B.17. Швидкість тіла, оберненого вертикально вгору з початковою швидкістю 10 м/с, без урахування опору повітря визначається за формулою: v = 10 – gt, де g – прискорення вільного падіння, t – час. На якій відстані від початкового положення буде знаходитись тіло через 15 с з моменту кидання?
B.18. Обчислити роботу, необхідну для викачки води з котла, який має форму півсфери з радіусом 3 м.
B.19. Знайти координати центра ваги дуги цепної лінії y = 6 ch 
, яка знаходиться між точками з абцисами 
, 
.
B.20. Знайти координати центра ваги фігури, обмеженої першою аркою циклоіди x = a (t – sin t), y = a (1 – cos t) і віссю абсцис.
B.21. Вертикальний трикутник з основою 10 м і висотою 7 м занурений у воду вершиною вниз так, що його основа знаходиться на поверхні води. Знайти силу тиску води.
B.22. Прямокутна пластина, сторони якої а = 20 см, b = 30 см, товщиною 
= 0,2 см, обертається зі сталою кутовою швидкістю 
навколо сторони b. Знайти кінетичну енергію пластини. Густина матеріалу 
= 4 г/см .
B.23. Знайти статичні моменти (
, 
) плоскої фігури, обмеженої лініями: 
, y = 2, x = 0.
B.24. Знайти координати центра ваги (
, 
) плоскої фігури, обмеженої лініями: y = x, y = - x, y = 10.
B.25. Круглий циліндр, радіус основи якого 5 м, а висота 8 м, обертається зі сталою швидкістю 
. Густина матеріалу, з якого зроблений циліндр, дорівнює 8 г/см . Знайти кінетичну енергію циліндра.
B.26. Яку роботу необхідно витрати, щоб перемістити тіло масою m (кг) з поверхні Землі на висоту 200 км?
B.27. Визначити масу прямого круглого конуса, висота якого Н, а кут між висотою і твірною 
, якщо густина в кожній точці конусу пропорційна відстані її від площини, яка проходить через його вершину паралельно основі.
B.28. Знайти статичні моменти дуги плоскої кривої:
, - k 
.
B.29. Знайти координати центра ваги фігури, обмеженої лініями: y = 
, -2 
.
|
|
|
B.30. Тонкий дріт масою М зігнутий у вигляді півкола радіусом R і обертається навколо осі, що проходе через кінці півкола, роблячи n обертів за хвилину. Обчислити її кінетичну енергію.
