Определение

Функция называется выпуклой вверх на промежутке X, если её график лежит ниже касательной на этом промежутке.

f(x) f(x₀)+f `(x₀)(x-x₀),

Теорема 1 Первый критерий выпуклости функции на промежутке

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на промежутке X, дифференцируема в любой внутренней точке ()

Тогда:

1) f(x)-выпукла вниз на X f `(x) – неубывающая на X₀

2) f(x)-выпукла вверх на X f `(x) – невозрастающая X₀

Доказательство:

1) Необходимость

По условию, f(x) выпукла вниз, докажем, что f `(x) неубывающая (то есть )

Возьмём

- по определению выпуклости

- по определению выпуклости

, так как

1) Достаточность

По условию производная - неубывающая, доказать f(x)-выпукла вниз, то есть (1)

Пусть для определённости

Докажем:

(2)

На отрезке от x до x₀ выполняются условия теоремы Лагранжа

(3)

подставив (3) в (2)

(1) (2) (3) – равносильны

доказательство аналогичное

2) для пункта 2 аналогично пункту 1

Теорема 2 Второй критерий выпуклости функции на промежутке

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на промежутке X и дифференцируема в любой внутренней точке промежутка

Тогда

1) f(x)-выпукла вниз на X (x)

2) f(x)-выпукла вверх на X (x)

Доказательство:

Необходимость

f(x) – выпукла вниз на промежутке тогда и только тогда, когда f `(x) по первому критерию выпуклости

Достаточность

По критерию монотонности