Доказательство неравенств с помощью производной

Необходимо ввести функцию и с помощью неё исследовать на монотонность.

Пример 1

Следовательно, искомое неравенство верно

Пример 2

Наибольшее и наименьшее значения функции

1) f(x) – непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на (a, b) (то есть по теореме Вейерштрасса f(x) – на этом отрезке достигает своего sup и inf)

2) вычисляем производную

3) находим критические точки (где производная равна нулю или не существует конечная)

4) из найденных критических точек, выбираем те, которые лежат внутри отрезка

5) считаем значения функции на концах отрезка и в отобранных точках

6) выбираем наибольшее и наименьшее значение

Пример

Корни x=0 x=1 x=3

y(0)=1 y(1)=2 y(2)=-7 y(-2)=-151

Ответ

На практике часто функция задана на промежутке, где имеется одна критическая точка

Если это max – наибольшее значение

Если это min – наименьшее значение

Пример

Дана электрическая цепь из двух сопротивлений соединённых параллельно, при каком сопротивление цепи максимально, если при последовательном соединении общее сопротивление равно R?

При проверке, действительно окажется, что достигается максимум функции.

Ответ: