Пример 1.9.2

Четыре артиллерийских расчёта производят по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность попадания для -го расчёта равна , . При менее, чем трёх попаданиях цель поражена не будет. При трёх попаданиях цель будет уничтожена с вероятностью , а при четырёх попаданиях – с полной достоверностью. Найти вероятность того, что цель будет уничтожена (событие ).

◄Полная группа гипотез в данном случае совпадает с пространством элементарных исходов. Перечислим гипотезы, обозначив их , где - индикатор попадания для -го расчёта, т.е. :

{0 0 0 0}

{1 0 0 0}, {0 1 0 0}, {0 0 1 0}, {0 0 0 1}

{1 1 0 0}, {1 0 1 0}, {1 0 0 1}, {0 1 1 0}, {0 1 0 1}, {0 0 1 1}

{1 1 1 0}, {1 1 0 1}, {1 0 1 1}, {0 1 1 1}

{1 1 1 1}

Итак, полная группа гипотез состоит из 16 событий. Но свойством обладают только 5 из них, поэтому вводим в рассмотрение только такие гипотезы: {1 1 1 0}, {1 1 0 1}, {1 0 1 1}, {0 1 1 1}, {1 1 1 1}.

Далее, находим:

, , , , ;

, .

Окончательно, по формуле (3.3.1) получаем:

.►

Упражнения

1.9.1. В одной урне – 1 белый и 3 чёрных шара, во второй – 2 белых и 2 чёрных шара. Наудачу выбирают урну, из которой наудачу вынимают шар. С какой вероятностью этот шар белый?

1.9.2. В первой урне были: 1 белый и 3 чёрных шара, во второй – 2 белых и 2 чёрных шара. Из первой урны наудачу вынули шар и переложили его во вторую урну, после чего из второй урны извлекли наудачу один шар. С какой вероятностью этот шар белый?

1.9.3. Проверяется партия приборов, среди которых 10% дефектных. Проверка с вероятностью 0,95 позволяет обнаружить дефект, если он есть. Если же дефекта нет, то с вероятностью 0,03 прибор ошибочно признаётся неисправным. С какой вероятностью проверяемый прибор будет признан дефектным?

Ответы к упражнениям

1.9.1. .