Понятие экстремума и признаки его существования. Общая схема исследования функций при помощи понятия производной

Максимумом функции f (x) называется такое значение f (x₀) этой функции, которое не меньше всех значений функции f (x) в точках x, близких к точке x₀. Так, на рисунке имеются два максимума: в точках А и С: f (x₀) и f (x₂).

Минимумом функции f (x) называется такое значение f (x₀) этой функции, которое не больше всех значений функции f (x) в точках x, близких к точке x₀. На рис. – минимумы в точках В и D.

Если в точке x₀ функция f (x) достигает максимума или минимума, значит функция f (x) в точке x₀ достигает экстремума. Функция f (x) может иметь несколько экстремумов внутри интервала [a, b].

Необходимый признак экстремума: если функция f (x) имеет в точке x₀ экстремум, то ее производная в данной точке равна нулю.

Пример. Пусть дана функция y = 2x² + 3. График такой функции - это парабола с ветвями, направленными вверх. Ясно, что график функции имеет единственный минимум в точке (0, 3). Проверим производную в данной точке:

y' = (2x² + 3)' = (2x²)' + (3)' = 2(x²)' + 0 = 2 * 2x = 4x

y' ‌_x=0 = 4x ‌_x=0 = 4*0=0

Значит, теорема выполняется: в точке экстремума (минимума) производная равна нулю.

1-й достаточный признак экстремума: если функция f(x) имеет в точке x₀ экстремум, то ее производная при переходе через x₀ меняет знак на противоположный. Причем, если:

· знак меняется с плюса на минус - это точка максимума,

· знак меняется с минуса на плюс - точка минимума.

Пример. Найти все максимумы и минимумы функции f(x) = (х-1)/2x².

Данная функция всюду дифференцируема (т.е. всюду имеет конечную производную): f'(x) = (x - 1 /2 x²)' = 1 - 1 /2 * 2x = 1 - x

Решаем уравнение 1 - x = 0. Оно имеет корень: x = 1.

Производная f'(x) = 1 - x меняет знак при переходе аргумента через значение x =1: при x < 1 производная положительна; при x > 1 производная отрицательна. Т.е. знак меняется с плюса на минус. Значит, экстремум в т. x =1 дает максимум.

Найдем значение максимума: f(1) = 1 - 1 /2 * 1² = 1 - 1 /2 = 1 /2.

Таким образом, точкой экстремума (максимума) данной функции является точка с координатами (1, 1 /2).

Существует и другой признак экстремума функции, связанный со второй производной.

2-й достаточный признак экстремума:если функция f(x) имеет в точке x0 экстремум, то ее вторая производная f''(x) ≠0, причем:

· если f''(x)> 0, то х₀ - точка минимума,

· если f''(x)< 0, то х₀ - точка максимума.