Геометрический смысл производной

Определение Касательной к графику функции называется предельное положение секущей при стремлении точки к точке вдоль графика(при этом стремится нулю). Предположим, что кривая имеет в точке касательную. Очевидно, .

Имеем право перейти к пределу при ,т.к. предположили, что кривая имеет касательную или, в силу непрерывности функции

Таким образом, производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной проведённой к графику функции в точке . Запишем уравнение касательной . Как известно из аналитической геометрии, уравнение прямой с угловым коэффициентом k через точку имеет вид для касательной будем, следовательно, иметь уравнение (T) В частности, если то касательная имеет уравнение , т.е. горизонталь. Заметим, что если производная функции в точке бесконечная, то касательная к её графику в точке М вертикальна и имеет уравнение . Нормалью к графику функции в точке х₀ называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной (Т). Следовательно, уравнение касательной имеет вид: - уравнение нормали (N)