double arrow

Непрерывность и точки разрыва функции

Функция у = f (х) называется непрерывной в точке х0, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента х-х0= х соответствует бесконечно малое приращение функции

у—у0 = у, т. е. если

lim y = lim [ f (х0 + х) – f (х0)] = 0.

Этому определению равносильно следующее:

Функция f (х) называется непрерывной в точке х0, если при х—> х0 предел функции существует и равен ее частному значе­нию в этой точке, т. е. если limf(х) = f (x0).

x->х0

Для непрерывности функции f(х) в точке х0 необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1)функция должна быть определена в некотором интервале, содержащем точку х0.(т. е. в самой точке х0 и вблизи этой точки);

2) функция должна иметь одинаковые односторонние пределы

lim f (х) = lim f (x);

x->х0 -0 x->х0 +0

3) эти односторонние пределы должны быть равны f (x0).

Функция f (x) называется разрывной в точке х0, если она опре­делена в сколь угодно близких точках, но в самой точке х0 не удовлетворяет хотя бы одному из условий непрерывности.

Разрыв функции f(х) в точке х0 называется конечным, или 1-го рода, если существуют конечные односторонние пределы

lim f(x) и lim f(х).

x-> х0 -0 x-> х0 +0

Все другие случаи разрыва функции называются разрывами- 2-го-рода; в частности, если хотя бы один из указанных односторонних пределов окажется бесконечным, то и разрыв функции называется бесконечным.

Скачком функции f(х) в точке разрыва х0 называется раз­ность ее односторонних пределов lim f(x) и lim f(х) если они различны.

x-> х0 -0 x-> х0 +0

Если точка х0 является левой или правой границей области определения функции f(х), то следует рассматривать значения функции соответственно только справа или только слева от этой точки и в самой точке. При этом:




1) если граничная точка х0 входит в область определения функции, то она будет точкой непрерывности или точкой раз­рыва функции, смотря по тому, будет ли предел функции при х —>х0 изнутри ее области определения равен или не равен f(х0);

2) если граничная точка х0 не входит в область определения функции, то она является точкой разрыва функции.

Функция называется непрерывной в некотором интервале, если она непрерывна во всех точках этого интервала.






Сейчас читают про: