Линейное подпространство задано однородной системой линейных уравнений

В задачах в данном случае чаще всего нужно найти размерность и ранг подпространства; или найти фундаментальный набор решений и обозначить базисные и свободные переменные. Отметим некоторые нюансы.

1) Если

{x₁ = x₂ + x₃
{x₄ = 2·x₂ − x₃

то x₁, x₄ — базисные переменные, а x₂, x₃ — свободные.

2) Ранг — это количество ненуливых различных строчек, оставшихся в матрице при её решении методом Жордана-Гаусса (метод заключается в том, чтобы в каждом столбце матрицы оставить лишь одну значащую цифру, а все остальные посредством домножения строчек на число и сложения/вычитания обратить в нули)

3) Ранг равен количеству базисных переменных.

4) Размерность — это количество векторов в базисе данного линейного подпространства, максимальное количество линейно-независимых векторов.

5) Размерность равна разности количества переменных и ранга. Это количество свободных переменных.