Понятие о корреляционной матрице

Результаты непосредственных измерений чаще всего являются некоррелированными величинами. Но в математическую обработку могут включаться не сами измерения, а их функции, например углы, вычисленные по независимо измеренным направлениям, предварительно уравненные (следовательно, коррелированные) измерения или их функции, например, дирекционные углы сторон, приращения координат и др. Поэтому возникает задача уравнивания коррелированных измерений. Во всех этих случаях необходимо знать корреляционные матрицы, которые в отличие от случая некоррелированных измерений уже не будут диагональными. Метод наименьших квадратов в применении к некоррелированным измерениям называется классическим, а к коррелированным – обобщенным. Классический принцип, таким образом, является частным случаем обобщенного принципа наименьших квадратов.

Обобщенным понятием математического ожидания случайной величины является понятие математического ожидания случайного вектора, определенного в виде

а обобщенным понятием дисперсии D_х случайного вектора является понятие корреляционной матрицы К случайного вектора Х

Так как по определению математическое ожидание случайной матрицы есть матрица, составленная из математических ожиданий ее элементов, то при n = 3 получаем

В общем случае

Ковариационная матрица

- дисторсии Х (диагональные элементы);

K_ij – корреляционные моменты (недиагональные элементы).

Корреляционная матрица симметрична. Для независимых величин она диагональная, ее называют дисперсионной.

Если дисперсии все одинаковы, то . Из корреляционной матрицы можно составить нормированную корреляционную матрицу ,

- корреляционная матрица;

r_ij – коэффициент корреляции между Х_i и Х_j.

Для измеренных величин корреляционную матрицу записывают в виде

Если r < 0 имеет место отрицательная корреляция;

r = 0 некоррелированные величины;

r > 0 положительная корреляция.

До применения обобщенного принципа пользовались классическим принципом наименьших квадратов V^TPV = min, если измерения равноточные, то V^TV = min. В обобщенном методе V^TK^-1V = min под таким условием надо уравнивать коррелированные величины.

Если измерения независимы и принципы будут одинаковыми. Классический принцип, таким образом, является частным случаем обобщенного принципа наименьших квадратов.