2015-07-14
878
В связи с наличием в геодезической сети избыточных измерений искомые неизвестные определяются неоднозначно. Задача уравнивания заключается в том, чтобы, используя все измерения, получить однозначно все неизвестные, причем наличие избыточных измерений позволяет выполнить оценку их точности и надежно проконтролировать, а так же повысить точность искомых величин.
Уравнивание выполняется по методу наименьших квадратов, согласно которому измеренные величины получают поправки nI, удовлетворяющие условию [pvv] = min, где pi – вес измерения. Карлом Гауссом и русским математиком А.А. Марковым доказано, что этот принцип приводит к наилучшим оценкам искомых неизвестных: они при отсутствии систематических ошибок являются несмещенными и обладают минимальной дисперсией. При некоррелированных измерениях условие метода наименьших квадратов преобразуется к виду VTPV = min, где Р – весовая матрица.
Обоснование метода наименьших квадратов применительно к этому общему случаю будет следующим.
|
|
|
Пусть линейная математическая модель в задаче уравнивания имеет вид
,
где Y – вектор истинных значений результатов измерений;
Х – вектор истинных значений параметров;
А – прямоугольная матрица полного ранга.
Статистическую модель создают для Y, причем М(у) = Y и 
, где 
- дисперсия единицы веса; у – результаты измерений. Между векторами у и Y существует зависимость у – Y = D, где D - вектор истинных ошибок измерений. Причем, М(D) = М(у) – Y = 0 и 
. Замена вектора Y и у приводит к несовместимой системе у = АХ. Тогда 
, такая что 
обладает свойством VTPV = min.
Независимо от вида распределения вектора у оценка 
будет несмещенной так как
, то есть 
так как
Теорема Гаусса-Маркова утверждает следующее: среди класса оценок х вектора Х, которые являются несмещенными и представляют собой линейные комбинации у оценка метода наименьших квадратов будет такой, что 
, т.е. - наиболее точная оценка из всех возможных оценок х в указанном смысле. Можно также доказать, что и 
.
