Представление синусоидальных токов и напряжений вращающимися векторами на комплексной плоскости и в комплексной форме. Векторные диаграммы токов и напряжений

Из курса математики известно, что любую синусоидальную функцию времени, например i (t) = Im ∙sin(wt+a), можно изобразить вращающимся вектором при соблюдении следующих условий:

а) длина вектора в масштабе равна амплитуде функции Im;

б) начальное положение вектора при t = 0 определяется начальной фазой a;

i (t ¢)

Рис. 37

в) вектор равномерно вращается с угловой скоростью w, равной угловой частоте функции.

При соблюдении названных условий проекция вращающегося вектора на вертикальную ось y в системе координат х-у в любой момент времени t ¢равна мгновенному значению функции i (t ¢), следовательно, i = Im∙ sin(wt+a)

Рассмотрим процессы в схеме электрической цепи рис. 36. Изобразим синусоидальные функции токов и напряжений вращающимися векторами для произвольного момента времени, например t = 0 (рис. 37а). При рассмотрении установившегося режима в схеме мгновенные значения функций не представляют интереса, поэтому момент времени, для которого строится векторная диаграмма, может быть выбран произвольно. Целесообразно один из векторов принять начальным или исходным и совместить его на диаграмме с одной из осей координат (вектор Е на рис. 37б совмещен с осью y), при этом остальные векторы располагают по отношению к исходному вектору под углами, равными их сдвигам фаз.

Так как на практике интерес представляют действующие значения токов и напряжений, то на векторных диаграммах длины векторов принимают равными в выбранных масштабах их действующим значениям (рис. 39б).

Рис. 39

б)

а)

Совокупность векторов токов и напряжений, характеризующих процессы в цепи переменного тока, построенных в выбранных масштабах и с соблюдением правильной их ориентации друг относительно друга, называется векторной диаграммой.

6. Переменный ток в идеальном резисторе R. Сопротивление идеального резистора в комплексной форме.

Пусть к цепи с резистором R (рис. 43а) приложено переменное напряжение:

Ток и напряжение на зажимах резистора связаны между собой физическим законом Ома, т. е.

Где , - уравнения закона Ома для амплитудных и действующих значений функций.

Угол сдвига фаз между напряжением и током , следовательно, в цепи с резистором R ток и напряжение совпадают по фазе.

Комплексное сопротивление резистора является чисто вещественным:

Мгновенная мощность в цепи с резистором R всегда положительна:

Это означает, что в цепи с резистором R протекает только процесс преобразования электрической энергии в другие виды (активный процесс). По этой причине сопротивление резистора R на переменном токе называется активным.

Графические диаграммы функций времени u (t), i (t), p (t)представлены на рис. 44, а векторная диаграмма напряжения и тока - на рис. 43б.

Рис. 44

7. Переменный ток в идеальной катушке с индуктивностью L. Сопротивление идеальной катушки в комплексной форме.

Пусть к цепи с идеальной катушкой L (рис. 45а) приложено переменное напряжение:

Ток и напряжение на зажимах катушки связаны между собой физическим законом электромагнитной индукции , откуда следует:

где - индуктивное реактивное сопротивление катушки,

Уравнения закона Ома для амплитудных и действующих значений функций: .

Угол сдвига фаз , т.е. в цепи с катушкой L ток отстает от напряжения (напряжение опережает ток) на угол .

Комплексное сопротивление катушки является чисто мнимым и положительным:

Мгновенная мощность цепи изменяется по синусоидальному закону с частотой 2 w:

Это означает, что в цепи с катушкой L происходит только периодический процесс обмена энергией между магнитным полем катушки и источником (реактивный процесс). По этой причине сопротивление катушки переменному току X_L =wL называется реактивным.

Графические диаграммы функций времени u (t), i (t), p (t) представлены на рис. 46, а векторная диаграмма напряжения и тока - на рис. 45б.

Рис. 46

8. Переменный ток в идеальном конденсаторе с емкостью C. Сопротивление идеального конденсатора в комплексной форме.

Пусть к цепи с идеальным конденсатором С (рис. 47а) приложено переменное напряжение

Ток и напряжение на зажимах конденсатора связаны между собой физическим законом сохранения заряда:

где - емкостное реактивное сопротивление [Ом].

Уравнения закона Ома для амплитудных и действующих значений функций:

Угол сдвига фаз , т. е. в цепи с конденсатором С ток опережает напряжение (напряжение отстает от тока) на угол 90°.

Комплексное сопротивление конденсатора является чисто мнимым и отрицательным: .

Мгновенная мощность цепи изменяется по синусоидальному закону с частотой 2 w:

Это означает, что в цепи с конденсатором С происходит только периодический процесс обмена энергией между электрическим полем конденсатора и источником (реактивный процесс). По этой причине сопротивление конденсатора переменному току называется реактивным.