Общая схема исследования функции и построения ее графика

I. Элементарное исследование:

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на симметричность и периодичность;

3) вычислить предельные значения функции в ее граничных точках;

4) выяснить существование асимптот;

5) определить, если это не вызовет особых затруднений, точки пересечения графика функции с координатными осями;

6) сделать эскиз графика функции, используя полученные результаты.

II. Исследование графика функции по первой производной:

1) найти решения уравнений , и не существует;

2) точки, «подозрительные» на экстремум, исследовать с помощью достаточного условия экстремума, определить вид экстремума;

3) вычислить значения функции в точках экстремума;

4) найти интервалы монотонности функции;

5) нанести на эскиз графика экстремальные точки;

6) уточнить вид графика функции согласно полученным результатам.

III. Исследование графика функции по второй производной:

1) найти решения уравнений , и не существует;

2) точки, «подозрительные» на перегиб, исследовать с помощью достаточ­ного условия;

3) вычислить значения функции в точки перегиба;

4) найти интервалы выпуклости в вогнутости графика функции;

5) нанести на эскиз графика точки перегиба

6) окончательно построить график функции.

Если исследование проведено без ошибок, то результаты всех этапов должны согласовываться друг с другом. Если же согласование отсутствует, необходимо проверить правильность результатов отдельных этапов и исправить найденные ошибки.