Установившееся неравновесное движение машин и расчет маховиков

В качестве примера рассмотрим движение поршневого двигате­ля (например, горизонтальной паровой машины), когда он отдает свою работу через ременный привод при условии, что разность натяже­ния ветвей Z₂ – Z₁ = const (рис.8.8).

Рис.8.8

На основании анализа цикла работы паровой машины и влияния инерционных сил получен график изменения силы Р _дин (рис.8.9).

рис 8.9

Теперь необходимо выяснить в какой мере Р _дин будет пе­редаваться на палец кривоши­па А. Разложим Р _дин на силу S по направлению шатуна и силу N, направленную ^ к направляющим.

Сила S передается на кривошип A. Перенесем ее в т. A и раз­ложимпо направлению ^ кривошипу и по кривошипу (рис.8.10).

Рис.8.10

В соответствии с законом передачи сил касательная движущая си­ла

(8.36)

т.к. u _BA = 0 в мертвых положениях, значит и Т _дин = 0. Если вычислить значения Т _дин для всех положений кривошипа, то график будет выглядеть так (рис.8.11):

Рис.8.11

Теперь главный вал машиныможно считать находящимся подвоздейст­вием касательной силы Т _дин, приложенной в А, и сил натяжения ремней Z ₁ и Z ₂, приложенных к ободу маховика (рис.8.12).

Рис.8.12

Запишем дифференциальное уравнение вращения маховика, рас­сматривая его как твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси О (второе слагаемое равно нулю, т.к.

J_п = const)

(8.37)

где

Jn - приведенныймомент инерции твердого тела (маховика, кривошипа, вала и массы m _2a от шатуна),

e_n - угловое ускорение звена приведения

S М -сумма моментов внешних сил относительно оси вращения.

(8.38)

Отношение М _ПС / r обозначим Q - силой полезного сопротивления, приведенной к пальцу кривошипа.

Тогда _{. (8.39)}

Теперь можно рассматривать маховик под действием двух сил Т _дин и Q (рис.8.13)

Дифференциальное уравнение вращения маховика

(8.40)

или

(8.41)

Рис.8.13

Т.к.мы условились, что Z ₁ = Z ₂ = const, то М _ПС = const, следовательно Q = const.

Анализ графика Т _дин - Q ( функция S a ) показывает, что Т _дин = Q только в четырех точках за оборот. Значит в этих точках e_n = 0 и w_n = const.

В остальных случаях угловая скорость либо возрастает (когда (Т _дин - Q) > 0, e > 0) или убывает ((Т _дин - Q) < 0, e < 0). Волны угловой скорости будут тем меньше, чем меньше e_n, а следовательно тем большим должен быть Jn - момент инерции 1-го звена.

Выведем условие необходимое для того, чтобы, несмотря на неизбежное колебание угловой скорости в период оборота, угловая скорость после оборо­та возвращалась к своему первоначальному значению, т.е.

w₀ = w_2p = w_4p = × × ×

Тогда будем иметь установившееся периодически неравновесное дви­жение.

Умножим обе части дифференциального уравнения (8.40) вращениямаховика на элемент пути т. А

(8.42)

принимаяво внимание,что, получим

(8.43)

Интегрируя (8.43) в пределах оборота, получим

(8.44)

т.к. w₀ = w_2p, то условием установившегося движения будет:

(8.45)

Т.к. Q = const, то

(8.46)

(8.47)

Выражение (8.47) устанавливает зависимость между движущей силой и силой полезного сопротивления, обеспечивающую режим установившегося неравновесного движения.

Подбор величины Q по величине движущей силы или регулирование движущей силы в соответствии с Q производится регулятором.

Однако мы не устранили колебания угловой скорости внутри оборота.

Определим среднюю угловую скорость звена приведения

где Т_об – время одного оборота звена приведения.

За меру неравномерности вращения примем отношение

, (8.48)

которое называют коэффициентом неравномерности вращения главного вала машины.

Определение Т_об сложно, поэтому принимают

(8.49)

Используя выражения (8.48) и (8.49), получим:

(8.50)

Установим связь между моментом инерции маховика J n и коэффициентом неравномерности вращения δ. Для этого проинтегрируем дифференциальное уравнение движения на участках между точками а и в графика Т_дин (рис.8.11).Получим

Т_b – T_a =A_(a-b)(T_дин) – A_(a-b)(Q) = A_изб.max (8.51)

или

(J_Пω²_max - J_Пω²_min)/ 2 = A_изб._max (8.52)

ω²_max - ω²_min = (ω_max - ω_min)(ω_max + ω_min) =

[ (ω_max + ω_min) / 2] × [(ω_max - ω_min) / ω_ср] 2ω_ср = 2ω_ср² δ (8.53)

Преобразуем (8.51) с учетом (8.52) и (8.53):

J_nω_ср² δ = A_{изб max} (8.54)

Отсюда

δ = A_{изб max} / J_nω_ср² (8.55)

Обычно при проектировании машины задаются приемлемым коэффициентом δ и решают уравнение относительно J_n:

J_n = A_{изб max} / ω_ср² δ (8.56)

(Для поршневых двигателей δ = 1/40 ¸ 1/100; для электрогенераторов и двигателей δ = 1/300).

Найдя J_n, рассчитывают вес обода маховика.

J _n = J_махов+ J_кр+ J_гл.в.+ m_2ar² (8.57)

Первое слагаемое несоизмеримо больше последующих, поэтому условно можно принять

J_n = J_махов

Используя формулу момента инерции для тонкого кольца, получим

J_махов = 1,1R²G_об /g G_об = 0,9 g J_махов / R²

(обычно принимают R = 5r; A_{изб max} = 0,2 А_эф.; А_эф=N_эф.Т_об;).

Вопросы для самоконтроля:

1. Назовите наиболее типичные условия работы машины.

2. При каких условиях (режимах) работы машины необходимо регулирование скорости движения?

3. Почему при крайних (мертвых) положениях ползуна Т_дин=0?

4. Запишите дифференциальное уравнение вращения маховика.

5. Приведите зависимость между движущей силой и силой полезного сопротивления, обеспечивающую режим установившегося неравновесного движения.

6. Что называется коэффициентом неравномерности вращения?

7. Как связаны приведенный момент инерции звена приведения и коэффициент неравномерности вращения?

8. Как определить вес обода маховика?