Скалярное произведение

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, то скалярное произведение, по определению, полагается равным нулю. Обозначается или .

Из определения

.

Так как , , то

.

Свойства скалярного произведения

1. .

2. .

3. .

4. .

5. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны (ортогональны).

Скалярное произведение в ПДСК

Если известны координаты двух векторов в ПДСК и , то

. (7)

Отсюда следует необходимое и достаточное условие ортогональности векторов:

.

Угол между векторами и вычисляется по формуле

. (8)

Задача 37. Определить углы треугольника с вершинами , , .

Решение. Определим угол при вершине . Он образован векторами и (Рис.7).

По формуле (8)

.

Найдём координаты указанных векторов по формуле (5). Получим

,

.

Вычислим длины векторов и , используя формулу (6):

, .

Вычислим скалярное произведение векторов , используя формулу (7)

.

Так как скалярное произведение равно нулю, то векторы и ортогональны и треугольник прямоугольный. Следовательно, . Так как , то треугольник равнобедренный. Значит, .