2015-07-14
1019
Пусть задана тройка векторов 
. Будем называть её упорядоченной, если указано, какой из векторов считать первым, какой вторым, какой третьим.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу, из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка левая.
Векторным произведением вектора 
на вектор 
называется вектор 
, удовлетворяющий следующими трём условиям:
1) 
, где 
угол между векторами и ;
2) 
и 
;
3) векторы образуют правую тройку.
Обозначается векторное произведение
Свойства векторного произведения
1. Векторное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.
2. Модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах:
. (9)
3. 
.
4. 
.
5. 
Векторное произведение в ПДСК
Если векторы 
и 
, то векторное произведение вычисляется по формуле:
. (10)
Задача 43. Вычислить площадь треугольника 
, если 
, 
, 
и найти длину высоты треугольника , которая опущена из вершины 
.
Решение. Найдём координаты векторов 
, 
и 
(см. (5)):
, 
, 
Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Найдём площадь параллелограмма по формуле (9). Для этого вычислим векторное произведение этих векторов, используя формулу (10):
.
Следовательно,
.
Из школьного курса геометрии известно, что, 
, где 
высота треугольника, 
длина стороны, на которую опущена высота. Следовательно,
.
Тогда
.
