Метод Гаусса относится к классу точных методов, т. е. точное решение можно найти за конечное число арифметических операций, в предположении, что нет ошибок округления. В методе Гаусса число арифметических операций равно (2/3)∙m3. Любую матрицу A можно представить в виде произведения верхнетреугольной V и нижнетреугольной L матриц:
A=L∙V.
Если зафиксировать главную диагональ у верхнетреугольной (нижне-треугольной) матрицы, то такое разложение единственно и тогда решение системы можно разбить на два этапа:
- нахождение матриц L и V;
- решение СЛАУ Ly=f и Vx=y.
Метод Гаусса включает прямой ход - исключения неизвестных, и обратный ход - нахождения решения.
Рассмотрим решение СЛАУ Ax=f, состоящее из n неизвестных.
(6.2)
Этап I метода Гаусса (прямой ход метода) сводится к преобразованию исходной матрицы к верхнетреугольному виду, используя пошаговое исключение переменных из системы.
Шаг 1. Разделим первое уравнение на a11≠ 0, из второго вычитаем первое, умноженное на a21, из третьего вычитаем первое, умноженное на a31, и т. д.
|
|
Получим
На этом 1- й шаг исключения завершен.
Далее рассмотрим систему:
И аналогичным образом исключим неизвестное x2. Получим систему вида
Таким образом, на каждом k -м шаге будем исключать переменную xk (k = 1,2,…, n -1) по следующему алгоритму:
Получим СЛАУ:
Обозначим матрицу коэффициентов V=M(n-1)…M(2)M(1)A, вектор правой части g=M(n-1)…M(2)M(1)f.
Этап II метода Гаусса (обратный ход метода) состоит в нахождении решения СЛАУ Vx=g из системы с верхнетреугольной матрицей:
,
, i= n-1, …, 1.