Прямокутників в ітераційній процедурі (1.3)

1 2 3 4 5 6 7

Метод Гюна. Проінтегруємо ліву і праву частини рівняння (1.1) в межах від t₀ до t₁:

. (1.4)

Із рівняння (1.4) знайдемо:

. (1.5)

Інтеграл, який знаходиться у правій частині рівняння (1.5), можна наближено обчислити за формулою трапецій:

. (1.6)

Права частина рівняння (1.6) вимагає знання , яке знайдемо, скориставшись методом Ейлера. Із формули (1.3) для k=0 отримаємо:

З врахуванням значення формула (1.6) набуде такого вигляду:

Тепер, зробивши заміну , , генеруємо процес, який наближує праву відповідному розв’язку Задачі Коші .

Для k -го кроку обчислень будемо мати:

(1.7)

(1.8)

де k=0,1,2…

Залишковий член у формулі трапецій, який використовують для наближення інтервалу в (7.6), дорівнює:

. (1.9)

Метод Рунге-Кутта. Ідея побудови методів Рунге-Кутта p - го порядку полягає в отриманні наближеного числового розв’язку задачі Коші за формулою:

, (1.10)

де - деяка функція, яка наближує відрізок ряду Тейлора до p -го порядку і не вміщує часткових похідних функції .

Якщо в (1.10) замінити на , то отримаємо метод Ейлера, тобто метод Ейлера можна вважати частковим випадком методів Рунге-Кутта, коли p=1.

Для побудови методів Рунне-Кутта вище першого порядку функцію вибирають як таку, що залежить від певних параметрів, які вибирають шляхом порівняння виразу (1.10) з многочленом Тейлора для з бажаним порядком степеня.

Розглянемо випадок p=2 і візьмемо функцію з наступною структурою:

. (1.11)

Розкладемо функцію двох змінних в ряд Тейлора, обмежившись лінійними членами:

Її підстановка в (1.11) дає:

де , .

Підставивши останній вираз в (1.10), отримаємо:

. (1.12)

Розкладемо тепер функцію в ряд Тейлора, враховуючи члени першого і другого порядків:

. (1.13)

Оскільки , то .

Знайдемо другу похідну . За формулою повної похідної будемо мати:

Враховуючи значення , отримаємо:

Отже:

Тепер значення і можемо підставити у вираз (1.13). У результаті отримаємо:

. (1.14)

Порівнюючи між собою вирази (1.12) і (1.14) приходимо до висновку, що:

Отримана система із трьох рівнянь, яка вміщує чотири невідомих. Це означає, що один із параметрів вільний і його можна вибрати довільним. Візьмемо , де . Тоді:

, .

У результаті підстановки значень C₁, C₂ _, a і b у формулу (1.11) маємо:

Отриманий результат дає підставу ітераційну процедуру (1.10) записати у такому вигляді:

. (1.15)

Якщо в (1.15) , то:

, (1.16)

а при маємо:

. (1.17)

Ітераційна процедура (1.16) носить назву метода Хойна, а (1.17) – породжує метод середньої точки.

Аналіз методів Рунге-Кутта другого порядку дає уявлення в якій формі слід шукати метод Рунге-Кутта довільного порядку.

За аналогією (1.11) можемо записати:

(1.18)

Найпоширенішим із сімейства методів (1.18) є метод четвертого порядку (p=4) або просто метод Рунге-Кутта, який породжує таку ітераційну процедуру:

(1.19)

Метод Рунге-Кутта дає похибку накопичення четвертого порядку – 0(h⁴).

Бажання підвищити точність методу Рунге-Кутта привело до появи різних його версій. Одна із них метод Кутта-Мерсона з вибором кроку на кожній із ітерацій.

На k - ому кроці розв’язку задачі Коші послідовно обчислюють:

(1.20)

Після цього підраховують величину

, (1.21)

і, якщо , то вважають, що в точці отриманий розв’язок задачі Коші з точністю . У тому випадку, коли крок h зменшують вдвічі і знову обчислюють значення При переході до наступного кроку k+1 здійснюється перевірка на можливість збільшення кроку. Якщо , то