Лабораторна робота №3

Чисельний розв'язок гіперболічних рівнянь (2 год.)

1 МЕТА РОБОТИ

1 Вивчення основних визначень і положень теорії чисельного розв'язку гіперболічних рівнянь.

2 Вивчення основних методів чисельного розв'язку гіперболічних рівнянь.

3 Розробка програм і розв'язок на ЕОМ гіперболічних рівнянь.

2 КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Як приклад гіперболічного рівняння розглянемо математичну модель вільних коливань струни

, (3.1)

кінці якої зафіксовані у точках х = 0 і х = l. У початковий момент часу кожній точці струни придали початкове зміщення і швидкість . Постійна у рівняння (3.1) визначається вагою і натягом струни.

Отже, процес коливань струни визначається такими початковими

при , (3.2)

, при , (3.3)

і граничними

, =0 при (3.4)

умовами.

Задача (3.2) – (3.3) визначена на прямокутній області .

Часткові похідні другого порядку будемо апроксимувати за формулами:

, (3.5)

. (3.6)

Замінивши у (3.1) часткові похідні і їх наближеннями (3.5) і (3.6), отримаємо різницеву схему

,

яка апроксимує хвильове рівняння (3.1) на шаблоні типу «хрест» (рис.3.1).

Рисунок 3.1 - Шаблон типу “хрест”

Якщо ввести позначення , то

, (3.7)

де , .

Відповідним чином видозмінюється початкова (3.2)

, (3.8)

і гранична (3.4)

, , , (3.9)

умови.

Оскільки кінці струни зафіксовані у точках і , то і .

Початкова умова (3.3) задана у диференціальній формі, що вимагає, застосування до неї форм апроксимації. Найпростіша із них

.

Тоді у відповідності з (3.3) або

. (3.10)

У тому випадку, коли функція має другу похідну, можна скористатися формулою Тейлора порядку два, щоб обчислити значення для другого ряду.

Оскільки . У відповідності з рівнянням (3.1) .

Отже,

. (3.11)

Розкладемо функцію у ряд Тейлора другого порядку. Маємо

,

де ; ;

- залишковий член ряду Тейлора.

Оскільки, у відповідності з формулою (3.3) а згідно (3.10) то

. (3.12)

Формулу (3.12) можна застосувати для обчислення значень для першого ряду. Для цього візьмемо , , а функції апроксимуємо за формулою

, (3.13)

де .

Формули (3.12) і (3.13) дають можливість записати наступну формулу для дискретних значень :

.

Оскільки , то

.

Якщо врахувати, що , то

. (3.14)

На відміну від формули (3.7), яка забезпечує перший порядок точності , формула (3.10) має другий порядок точності .

3 ЗАВДАННЯ

1 Розв’язати задачу про коливання струни одиничної довжини із закріпленими кінцями , з початковими умовами , і нульовими граничними умовами .

2 Написати програму і розрахувати на ЕОМ значення кореня зазначеного рівняння.

3 Розробити програму для розв’язку даного рівняння. Розрахувати на ЕОМ значення кореня. Порівняти результати двох методів.

4 КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1 Дайте класифікацію систем з розподіленими параметрами.

2 Сформуйте граничні і початкові умови для гіперболічного рівняння.

3 Отримайте дискретний аналог гіперболічного рівняння.

5 ТАБЛИЦЯ ІНДИВІДУАЛЬНИХ ЗАВДАНЬ

Варіант	f(x)	a	b	c
			0.1	-
		0.1	-
		0.2	-
		0.3	-
		0.4	-
		-	-	-
		-	-	-
		-	-	-
		-	-	-
		-	-	-
			0.1	0.2
		0.2	0.4
		0.4	0.6
		0.6	0.8
		0.8	0.9