Розв’язання

Дане рівняння визначає еліпсоїд у просторі. Знаходимо його найпростіше рівняння:

Відповідь: .

10.

З’ясувати геометричний зміст рівняння: x² = 2pz

Розв’язання

Дане рівняння на площині є рівнянням пароболи, симетричної відносно осі. У просторі – це рівняння є рівнянням параболічного циліндру, розташованого вздовж осі.

		X

Контрольна робота № 2

I. Обчислити вирази

1. ; 3. ; 5.

2. 4. ; 6. ; 10.

7. ; 8. ; 9.

II. Представити у вигляді многочлена першого степеня від тригонометричних функцій кутів, кратних х:

1. sin³x; 2. sin⁴x; 3. cos⁵x; 4.cos⁶x; 5. sin³x·cos⁵x;

6. 3sin⁴xcos³x; 7. 5cos³xsin²x; 8. sin⁷x; 9. cos⁴xsin³x; 10.sin⁵x.

III. Обчислити суми:

1. cos x + cos 2x+ …+ cos nx; 5. cos +cos +cos +…+cos

2. sin x + sin 2x + …+ sin nx; 6. sin +sin +sin +…+sin

3. sin x + 2sin 2x + …+ nsin nx; 7. cos² x + cos² 2x+ …+ cos² nx;

4. cos x +2cos 2x+ …+ ncos nx; 8. sin² x + sin² 2x + …+ sin² nx;

9. + cos x + cos 2x+ …+ cos nx; 10. 1+acosφ+a²cos2φ+…+a^kcoskφ.

IV. 1. Знайти суму всіх коренів 6-го степеня з одиниці.

2. Довести, що первісний корінь n-го степеня з одиниці має порядок n.

3. Знайти суму всіх коренів 15-го степеня з одиниці.

4. Знайти суму всіх первісних коренів 10 степеня з одиниці.

5. Знайти суму всіх первісних коренів 15-го степеня з одиниці.

6. Знайти необхідну і достатню умови того, щоб кожен первісний корінь nm-го степеня з одиниці можна було зобразити у вигляді добутку первісних коренів n-го і m-го степенів з одиниці.

7. Знаючи, що є одним із значень , знайти всі значення .

8. Знаючи, що 2+і є одним із значень , знайти всі значення .

9. Знайти суму всіх коренів n-го степеня з одиниці.

10. Знайти суму всіх первісних коренів 24-го степеня з одиниці.

V. Дана система лінійних неоднорідних рівнянь:

(*)

1) Знайти ранг матриці А системи (*) А= .

2) Дослідити систему на сумісність.

3) Обчислити визначник матриці А способом:

а) зведенням до трикутного вигляду;

б) розкладанням за елементами першого рядка.

4) Розв'язати систему рівнянь методом Гауса, методом Крамера;

5) Знайти матрицю, обернену до матриці А системи двома способами:

а) за допомогою матриці А^*- приєднаної до матриці А:

б) за допомогою комбінованої матриці: (А/Е)~(Е/A^-1).

6) Записати систему (*) в матричному вигляді та розв’язати її в матричному вигляді.

Таблиця значень параметрів системи (*)

Варіант параметр
a
b
c			-4	-3					-5	-2
e	-2			-4	-2	-2		-4
f									-5
d	-1	-2	-2				-3		-8	-1

VI. За допомогою теореми про накладання розв’язків знайти загальний розв’язок системи лінійних рівнянь (*).

(*)

Таблиця значень параметрів системи (*)

Варіант параметр
m
n	-1	-3			-2	-5			-2

Зразки розв’язання задач контрольної роботи №2

1. Обчислити вираз: (1-і )³⁰.

Розв’язання: Представимо комплексне число z=1-i в тригонометричній формі та застосуємо формулу Муавра піднесення комплексного числа до n-го степеня. Тригонометрична форма комплексного числа має вигляд: z=r(cos φ+isin φ), де ;

в нашому випадку а=1; b=- ; i= =2; .

Звідси ; Тоді z=2(cos +isin ).

z³⁰= .

Відповідь: 2³⁰.

2. Представити у вигляді многочлена першого степеня від тригонометричних функцій кутів, кратних х cos³х.

Розв'язання: Розглянемо комплексне число z = cos x + isin x.

Тоді cos x =; sin x =;

cos kx =; sin kx =;

cos³x = = (z³ + 3z² * z^-1 + 3z^-2 * z +z^-3) = ((z³ + z^-3) + 3(z + z^-1)) =

= +3 = (cos 3x + 3cos x);

Відповідь: (cos 3x + 3cos x).

3. Обчислити суму: cos x + cos 2x + … + cos nx.

Розв'язання: Позначимо через S = cos x + cos 2x + … + cos nx,

T = sin x + sin 2x + … + sin nx.

Тоді S + Ti = (cos x + isin x) + (cos 2x + isin 2x) + … + (cos nx + isin nx);

cos x + isin x = a.

S+Ti = a + a² +…+ aⁿ = = = = =

= = A.

Обчислимо знаменник

a + a^-1 –2=cos x +isin x +cos x –isin x – 2 =2cos x – 2 = – 2(1 –cos x) = – 4 sin²;

A = =

= + i;

Отже,

S = = =

= = =

= =;

Відповідь:.

4. Знайти суму всіх первісних коренів 15-го степеня з одиниці.

Розв'язання: Нехай ξ₁ – первісний корінь 15-го степеня з одиниці:

ξ₁ = cos + isin;

Піднесенням ξ₁ до степенів від 0 до 14 одержуємо всі корені 15-го степеня з одиниці. Сума всіх коренів 15-го степеня з одиниці дорівнює нулеві.

Знайдемо суму всіх первісних коренів 15-го степеня з одиниці. Позначимо її через S. Тоді

S = Σ ξ_i – (1 + (ξ⁵ + ξ¹⁰) + (ξ³ + ξ⁶ + ξ⁹ + ξ¹²)) = 0 – (1 – 1 – 1) = 1.

Відповідь: S = 1.

5. Дана система лінійних неоднорідних рівнянь:

x₁ – 2x₂ + 3x₃ = 2

2x₁ – x₂ – 3x₃ = –2

x₁ + 2x₂ – 4x₃ = –1

1 -2 3

1. Знайти ранг матриці А = 2 -1 -3;

1 2 -4

2. Дослідити систему на сумісність.

3. Обчислити визначник матриці А способом

а) зведення до трикутного вигляду

б) розкладанням за елементами першого рядка

4. Розв'язати систему рівнянь методом Гауса, методом Крамера.

5. Знайти матрицю, обернену до матриці А двома способами.

6. Записати систему рівнянь в матричному вигдяді та розв'язати її в матричному вигляді.

Розв'язання:

1) Знайдемо ранг матриці А:

А = ~ ~ ~ ~; r(A) = 3.

2) Досліджуємо систему рівнянь на сумісність за теоремою Кронекера-Капеллі. Виписуємо матрицю системи та розширену матрицю і знаходимо їх ранги.

А =;.

~ ~ ~ ~; r(A) = 3;

r(A) = 3.

Отже, система рівнянь сумісна, так як ранг матриці А дорівнює рангу матриці А.

3) Обчислимо визначник матриці А:

а)

| A | = = = – = – = –3 = –3 = 15

б)

| A | = = 1 + 2 + 3 = 10 + 2 * (-5) + 3 * 5 = 15.

4) Розв'яжемо систему рівнянь методом Гауса. Так як елементарні перетворення матриці не змінюють її рангу, а кожній матриці можна поставити у відповідність систему лінійних рівнянь, одержуємо:

~.

x₁ – 2x₂ + 3x₃ = 2 x₁ = 1;

x₂ + 2x₃ = 3 ~ x₂ = 1;

–5x₃ = –5 x₃ = 1;

Відповідь: (1, 1, 1).

Розв'яжемо систему рівнянь, застосовуючи формули Крамера:

x₁ =; x₂ =; x₃ =.

Так як визначник матриці відмінний від нуля, то система сумісна і має єдиний розв'язок.

Знайдемо ∆x₁ = = 8 – 12 – 6 – 3 + 12 + 16 = 15;

∆ = 15; ∆x₂ = = 8 – 6 – 6 + 6 – 3 + 16 = 15;

∆x₃ = = 1 + 8 + 4 + 2 + 4 – 4 = 15;

x₁ =; x₁ = 1; x₂=; x₂ = 1; x₃=; x₃ = 1.

Відповідь: (1, 1, 1).

5) Знайдемо матрицю, обернену до матриці А. Матриця А невироджена (|А| ¹ 0), а тому має обернену.

а) Методом алгебраїчних доповнень знайдемо матрицю А*, приєднану до матриці А.

A₁₁ = 10; A₂₁ = –2; A₃₁ = 9;

А =; A₁₂ = 5; A₂₂ = –7; A₃₂ = 9;

A₁₃ = 5; A₂₃ = –4; A₃₃ = 3.

A* =. A^-1 =; ∆ = 15.

A^-1 =.

б) Знайдемо обернену матрицю методом елементарних перетворень комбінованої матриці. Запишемо комбіновану матрицю:

(А / Е) =

Зводимо цю матрицю до вигляду (Е / А^-1).

(А / Е) ~ ~ ~ ~

~ ~ ~

~

А^-1 =.

6) Запишемо систему рівнянь у матричному вигляді:

x₁ – 2x₂ + 3x₃ = 2

2x₁ – x₂ – 3x₃ = –2 А =; В =; Х =.

x₁ + 2x₂ – 4x₃ = –1

Тоді система рівнянь приймає вид: А * Х = В або

* =, звідси Х = А^-1 * В – розв'язок системи.

Х = * =

=(+ –; + –; + –) = (1, 1, 1).

Відповідь: Х = (1, 1, 1).

6. За допомогою теореми про накладання розв'язків знайти загальний розв'язок системи лінійних рівнянь:

x₁ + 2x₂ + x₃ + 3x₄ = 9

2x₁ – x₂ – 3x₃ + x₄ = –2

~

~

Розв'язання: Загальний розв'язок системи рівнянь можна знайти за формулою: Х = Х₀ + Х, де Х₀ – частинний розв'язок данної системи рівнянь, а Х – загальний розв'язок відповідної до неї системи однорідних лінійних рівнянь. Система рівнянь еквівалентна матриці:

А =.

Знайдемо ранг матриці А:

~; r(A) = 2; r(A) = 2.

Так як ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці, то дана система сумісна і має безліч розв'язків (r < n), де n – кількість невідомих.

Дана система рівнянь еквівалентна системі:

~

x₁ + 2x₂ + x₃ + 3x₄ = 9 x₁ + 2x₂ + x₃ + 3x₄ = 9

–5x₂ – 5x₃ – 5x₄ = -20 x₂ + x₃ + x₄ = 4

Нехай х₃ і х₄ – вільні невідомі. Надамо їм нульових значень: х₃ = х₄ = 0, тоді

~

x₁ + 2x₂ = 9 х₁ = 1;

x₂ = 4 х₂ = 4;

Отже, Х₀ = (1, 4, 0, 0) – деякий частинний розв'язок заданої системи рівнянь.

Запишемо однорідну систему лінійних рівнянь, відповідну заданій системі:

x₁ + 2x₂ +x₃ + 3x₄ = 0;

x₂ + x₃ + x₄ = 0.

Знайдемо фундаментальну систему розв'язків цієї системи; вона складається з
4 – 2 = 2 розв'язків. У просторі R² візьмемо базис: е₁ = (1, 0); е₂ = (0, 1) і вільним невідомим х₃ і х₄ надамо значень з базису <е₁, е₂>.

~

х₃ = 1; х₁ + 2х₂ = –1; х₁ = 1;

х₄ = 0; х₂ = –1; х₂ = –1,

	~

тоді Х' = (-1, -1, 1, 0) – один із фундаментальних розв'язків однорідної системи.

Нехай х₃ = 0, х₄ = 1, тоді одержуємо:

~

х₃ = 0; х₁ + 2х₂ = –3; х₁ = –1;

х₄ = 1; х₂ = –1; х₂ = –1

	~

і вектор Х'' = (-1, -1, 0, 1) – другий фундаментальний розв'язок.

Загальний розв'язок однорідної системи знаходимо як лінійну комбінацію фундаментальних розв'язків:

		~		~		~
	~

Х = αХ' + βХ''; Х = (α, -α, α, 0) + (-β, -β, 0, β) = (α – β, -α – β, α, β); α, β Є R.

Загальний розв'язок даної системи лінійних неоднорідних рівнянь має вигляд:

	~

Х= Х₀ + Х = (1, 4, 0, 0) + (α – β, -α – β, α, β) = (1 – α – β; 4 – α – β; α, β); α, β Є R.

Відповідь: (1 – α – β; 4 – α – β; α, β); α, β Є R.

Контрольна робота № 3

1. Перевірити чи утворюють наступні множини векторні простори над полем дійсних чисел R

1. Сукупність векторів площини, початок кожного з яких збігається з початком координат, а кінець міститься в першій або четвертій координатних четвертях;

2. Множина многочленів степеня від однієї змінної дійсними коефіцієнтами;

3. Множина всіх функцій, неперервних на відрізку

4. Множина всіх збіжних послідовностей;

5. Множина квадратних матриць порядку n відносно звичайних операцій додавання матриць і множення їх на число.

6. Множина всіх многочленів f (х), що задовольняють умові f(0)= 1 відносно додавання многочленів і множення їх на число;

7. Множина комплексних чисел (зокрема, розглянути множину над полем раціональних чисел відносно звичайних операцій додавання і множення їх на число);

8. Множина всіх функцій, інтегрованих на відрізку ;

9. Розв’язки довільної системи лінійних однорідних рівнянь над деяким полем P.

10. Множина P додатних чисел з наступними операціями: додавання - для будь-яких “х+у=ху”, множення на число з поля K_0- для будь-яких і .

ІІ. Довести, що вектори утворюють базис та знайти координати вектора в цьому базисі.

Таблиця параметрів:

Варіант параметр
a			-1	-3		-2		-2
b					-2			-3		-5
c	-1	-3	-3						-1

ІІІ. Довести, що кожна з двох даних систем векторів є базисом і знайти зв’язок між координатами того самого довільно вибраного вектора в цих двох базисах.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7

8.

9.

10.

ІV. Знайти базиси суми і перетину векторних підпросторів V і U, заданих як лінійні оболонки векторів a _1, a _2,... a_k і b_1, b_2,….,b і відповідно.

Таблиця параметрів

Варіант параметр
e1			-2					-4	-5	-2
e2		-2					-2	-2	-4	-7
e3		-1						-5	-8	-2
t1		-2					-2	-2	-4	-7
t2		-3					-2	-5	-9	-2
t3		-4					-2	-8	-14	-6

V. На вектори , , натягнута лінійна оболонка L

а) побудувати ортонормований базис простору L;

б) знайти ортогональне доповнення ;

в) знайти відповідно проекції і вектора на підпростори і

г) знайти кут між вектором і простором ;

д) знайти відстань між вектором і підпростором ;

Таблиця параметрів

Варіант параметр
а1
а2					-1
а3	-2						-1
а4		-1		-2		-1	-2	-1	-1
b1
b2								-5
b3				-1		-5	-2
b4			-1		-1		-3		-3
c1
c2					-1
c3	-1			-1					-6
c4				-1		-7		-4
x1									-1
x2	-2		-1				-2			-1
x3	-1	-2	-3	-3	-3	-1			-3
x4

VІ. Довести, що множення кожної квадратичної матриці другого

порядку з дійсними елементами зліва на матрицю є лінійним оператором векторного простору квадратних матриць другого порядку над полем дійсних чисел R. Знайти матрицю цього лінійного оператора у базисі, що складається з матриць:

1. E_{1 = ; = ; = ;}

1. 

1. 
2. 

1. 

1. 

1. 
2. 
3. 
4. 

VІІ. Нехай лінійний оператор A в базисі а = < а_1, а₂ > має матрицю , а лінійний оператор B у базисі b=<b₁,b_2,> має матрицю . Знайти матрицю Х лінійного оператора AB в базисі, в якому задано координати всіх векторів.

Таблиця параметрів

Варіант параметр
а1	(-3,-1)	(1,3)	(1,-1)	(-1,2)	(2,3)	(1,7)	(2,-3)	(4,1)	(3,1)	(1,-4)
а2	(7,2)	(2,5)	(7,2)	(3,1)	(1,5)	(5,2)	(1,2)	(5,3)	(-1,4)	(3,2)
б1	(3,2)	(-1,2)	(1,3)	(2,-1)	(1,2)	(-1,3)	(1,1)	(-2,-1)	(1,5)	(2,1)
б2	(4,3)	(3,2)	(4,2)	(1,1)	(3,4)	(2,3)	(2,0)	(3,4)	(3,2)	(-1,1)

VІІІ. Побудувати ядро A область значень ImA, та знайти ранг r=dim(ImA), дефект d=dim(KerA) лінійного оператора A векторного простору L_3, який у деякому базисі цього простору B=< заданий своєю матрицею:

1. 2. 3.

4. ; 5.A= ; 6.

7.A= ; 8. A= ; 9. A= ;

10.A= ;

IX. Знайти власні значення і власні вектори лінійного оператора A, заданого в деякому базисі B=<b₁,b₂,b₃> цього простору матрицями n.VIII.

X. Чи зводиться відповідна матриця А n.VIII n. IX лінійного оператора A векторного простору V₃ до діагонального виду за допомогою переходу до іншого базису? Знайти цей базис і відповідну йому матрицю.

Зразки розв’язання задач контрольної роботи № 3

І. Довести, що квадратні матриці порядку n з дійсними елементами утворюють векторний простір над полем дійсних чисел, якщо за операції взяти додавання матриць і множення матриці на число.

Розв’язання. Нехай М- множина всіх квадратних матриць порядку n з дійсними елементами.