Прыклад 17.5

17.5.1. У лінейнага аператара pr_x лінейнай прасторы V₂ вектар з’яўляецца ўласным з уласным значэннем 1, паколькі .

Так як , вектар - уласны, якому адпавядае ўласнае значэнне 0.

17.5.2. Вектар з’яўляецца ўласным вектарам аператара паварота прасторы V₃ вакол восі Oz, якому адпавядае уласнае значэнне 1.

17.5.3. Ненулявыя паліномы нулявой ступені і толькі яны з’яўляюцца уласнымі вектарамі аператара дыферанцавання D прасторы P [x]. Ім адпавядае ўласнае значэнне 0.

Ул-ць 17.6. Калі - уласны вектар лінейнага аператара f ÎEnd(V), якому адпавядае ўласнае значэнне ÎP, тады для адвольнага ÎP\{0} вектар таксама з’яўляецца ўласным вектарам аператара f, якому таксама адпавядае ўласнае значэнне .

Доказ. Па ўмове . Тады відавочна, што і .■

Вынік 17.7 Калі - уласны вектар лінейнага аператара f ÎEnd(V), якому адпавядае уласнае значэнне , тады падпрастора P ={ ÎP} з’яўляецца f -інварыянтнай і кожны ненулявы вектар гэтай прасторы з’яўляецца ўласным вектарам гэтай прасторы з’яўляецца ўласным вектарам f, якому адпавядае ўласнае значэнне .

Доказ. Вынікае з 17.6 і таго, што f .■

Азн. 17.8 Няхай (3) - базіс прасторы V, f ÎEnd(V) і А = -матрыца аператара f у базісе (3). Характэрыстычным паліномам матрыцы А, а таксама характэрыстычным паліномам f называецца паліном

(4)

Карэктнасць гэтага азначэння вынікае з 17.9.

Ул-ць 17.9 Характэрыстычны паліном лінейнага аператара залежыць ад таго, у яім базісе знаходзіцца яго матрыца.

Доказ. Няхай (5)

таксама базіс прасторы V, f мае ў гэтым базісе матрыцу А’. Калі Т – матрыца пераходу ад базіса (3) да базіса (5), тады па тэарэме 11.8, А’ = Т^-1АТ. Адсюль атрымоўваем, што

.■

Тэарэма 17.10. Элемент ÎP з’яўляецца ўласным значэннем аператара f тады і толькі тады, калі ён з’яўляецца коранем характэрыстычнага палінома лінейнага аператара f.

Доказ. Няхай ÎP - уласнае значэнне лінейнага аператара f, якое адпавядае уласнаму вектару і мае ў базісе (3) ненулявы слупок каардынат X₀, а f мае у (3) матрыцу А.

Тады паколькі , значыцца AX₀ = , адкуль вынікае, што AX ₀= і . (6)

Разгледзім аднародную сістэму n лінейных раўнанняў адносна n невядомых – кампанент слупка X. З гэтага вынікае, што дэтэрмінант матрыцы каэфіцэнтаў сістэмы – выражэння: , значыцца .

Няхай - корань характэрыстычнага палінома лінейнага аператара f. Фіксуем у V базис (3). Разгледзім аднародную сістэму (7). Дэтэрмінант матрыцы каэфіцэнтаў сістэмы (7) роўны , значыцца ранг матрыцы каэфіцэнтаў меньшы за колькасць невядомых. Паколькі сістэма аднародная, значыцца ранг пашыранай матрыцы сістэмы роўны рангу рангу матрыцы каэфіцыентаў і меньшы за колькасць невядомых, значыцца сістэма (7) мае бясконцае мноства рашэнняў. Няхай X₀ – ненулявы слупок яе рашэнняў. Маем, што і AX₀ = .

Разгледзім вектар , які ў базісе (3) мае слупок каардынат X₀. Так як слупок X₀ ненулявы, . З (8), згодна з тэарэмай 11.5 і ўласцівасці 5.11, (8) эквівалентна таму, што , значыцца, - уласнае значэнне f, якое адпавядае ўласнаму вектару .■