Прыклад 17.11

17.11.1 Няхай у некаторым базісе рэчаіснай прасторы V лінейны аператар f мае матрыцу . Знайсці ўласныя вектары і ўласныя значэнні f.

Рашэнне. Знойдзем характэрыстычны паліном аператара f:

Яго корані па тэарэме 17.10 з’яўляюцца ўласнымі значэннямі аператара f. Знойдзем, якім уласным вектарам яны адпавядаюць.

Калі , вектару адпавядае слупок каардэнат , тады X ₁ – рашэнне сістэмы ; ; .

Фундаментальную сістэму рашэнняў утварае слупок . Усе рашэнні гэтай сістэмы - , што адпавядае 17.6 і 17.7.

Адпаведна, мае слупок каардэнат у базісе, аб якім ідзе гаворка ў задачы.

Калі адпавядае уласнаму вектару , які ў базісе з умовы мае слупок каардэнат , тады, як і раней, атрымаем сістэму адносна y₁, y₂: ;

;

Такім чынам, атрымоўваем, што ўласным вектарам з’яўляецца вектар, які мае ў базісе, які разглядаем, слупок каардынат (ці адвольны ненулявы калініярны яму вектар).

17.11.2 Няхай у некаторым базісе рэчаіснай прасторы V лінейны аператар f мае матрыцу . Знайсці ўласныя значэнні аператара f і слупкі ўласных вектараў, якім гэтыя ўласныя значэнні адпавядаюць.

Знаходзім характэрыстычны паліном аператара f:

Такім чынам, уласныя значэнні роўныя Знойдзем уласныя вектары, якім адпавядае ўласнае значэнне . Няхай ён мае слупок каардынат , тады ; ; .

Рашэнне гэтай сістэмы дае нам, што , дзе s≠0, так як .

Аналагічна, уласнае значэнне адпавядае ўласным вектарам, якія маюць слупкі . Аналагічна, калі , тады .

Прыклад 17.11.3. Няхай у некаторым базісе рэчаіснай лінейнай прасторы V лінейны аператар f мае матрыцу . Знайсці ўласныя вектары і ўласныя значэнні f.

Характэрыстычны паліном f:

Уласнае значэнне (кратнасці 2), якому адпавядае ўласны вектар . Тады і – рашэнні сістэмы , значыць, , дзе Î R \{0}.

Прыклад 17.11.4. Няхай у некаторым базісе рэчаіснай лінейнай прасторы V лінейны аператар f мае матрыцу .Знайсці ўласныя вектары і ўласныя значэнні f.

Характэрыстычны паліном f мае корані (кратнасці 2), (кратнасці 1).

Калі ўласнае значэнне адпавядае ўласнаму вектару

, тады , што эквівалентна раўнанню , адкуль вынікае, што ўласнае значэнне адпавядае ўласным вектарам , дзе . Аналагічна знаходзім, што ўласнае значэнне адпавядае ўласным вектарам , дзе .

Прыклад 17.11.5. Няхай у некаторым базісерэчаіснайлінейнай прасторы V лінейны аператар f мае матрыцу . Знайсці ўласныя вектары і ўласныя значэнні f.

Характэрыстычны паліном не мае рэчаісных каранёў, значыцца, аператар f не мае ўласных вектароў і ўласных значэнняў.

Прыклад 17.11.6. Няхай у некаторым базісе камплекснай лінейнай прасторы V лінейны аператар f мае матрыцу . Знайсці ўласныя вектары і ўласныя значэнні f.

Характарыстычны паліном мае камплексныя корані . Нескладана знайсці, што гэтыя ўласныя значэнні адпавядаюць уласным вектарам і , якія ў дадзеным базісе маюць слупкі каардынат , , дзе C .

Ул-ць 17.12. Няхай dim V =n. Лінейны аператар f ÎEnd(V) мае ў некаторым базісе дыяганальную матрыцу тады і толькі тады, калі ўсе вектары гэтага базіса – ўласныя вектары f.

Доказ. Калі f у базісе мае матрыцу , тады з азначэння матрыцы аператара маем, што , і наогул, , . Значыцца, вектары базіса – уласныя вектары аператара f, якім адпавядаюць уласныя значэнні . Калі – базіс прасторы V, прычым – уласныя вектары аператара f, якім адпавядаюць уласныя значэнні , тады , адкуль, па азначэнню 11.2 атрымоўваем, што ў базісе мае матрыцу .■

Ул-ць 17.13. Уласныя вектары лінейнага аператара, якія адпавядаюць папарна розным уласным значэнням, лінейна незалежныя.

Доказ. Выкарыстаем метад матэматычнай індукцыі па k – колькасці ўласных вектароў.

Калі k=1, уласцівасць, відавочна, праўдзівая (паколькі ўласны вектар – нянулявы).

Няхай сцвярджэнне праўдзівае да k вектароў , якія адпавядаюць папарна розным уласным значэнням .

Разгледзім k+1 уласны вектар , якім адпавядаюць папарна розныя уласныя значэнні . Няхай (6)

Тады , значыцца , адкуль . (7)

Калі абедзве часткі роўнасці (6) дамножым на і дададзім да роўнасці (7), атрымаем, што . Па пасылцы індукцыі вектары – лінейна незалежныя, значыцца, , а паколькі , . З гэтага і роўнасці (6) вынікае, што , значыцца, вектары – лінейна незалежныя. ■

Вынік 17.14. Калі dim V =n і лінейны аператар f ÎEnd(V) мае n папарна розных уласных значэнняў , тады ўласныя вектары, якім яны адпавядаюць, лінейна незалежныя, утвараюць базіс V, у якім f мае матрыцу .

Доказ. З тэарэмы 17.10 вынікае, што калі – розныя уласныя значэнні, яны адпавядаюць розным уласным вектарам , якія па ўласцівасці 17.13 лінейна незалежныя, значыцца, утвараюць базіс прасторы V, у якім па ўласцівасці 17.1 2 лінейны аператар f мае матрыцу A = .■

Вынік 17.15. Калі A ÎMat(n´n,P) і характэрыстычны паліном матрыцы A мае n розных каранёў , тады існуе нявыраджаная матрыца T такая, што .

Доказ. Разгледзім якую-небудзь лінейную прастору V над P вымернасці n (напрыклад Pⁿ) і фіксуем у ёй базіс (3).

Згодна з 11.4, існуе лінейны аператар f, які ў гэтым базісе мае матрыцу A. Па 17.8 і 17. 9 характэрыстычныя паліномы f і A аднолькавыя, значыцца, f мае n папарна розных уласных значэнняў , значыцца, існуе базіс (8) прасторы V, у якім усе вектары – уласныя вектары аператара f, якім адпавядаюць розныя ўласныя значэнні , значыцца, па 17.4, у базісе (8) f мае матрыцу . Калі T – матрыца пераходу ад базіса (3) да базіса (8), тады па тэарэме 11.8, .■

Прыклад 17.16. У гэтым прыкладзе матрыцы з 17.16.k будуць тыя ж, якія былі былі ў прыкладзе 17.11.k Паспрабуем адказаць на пытанне: Ці існуе да дадзенай матрыцы такая матрыца , што матрыца – дыяганальная?

Прыклад 17.16.1.

У 17.11.1 знайшлі ўласныя значэнні , якія адпавядаюць уласным вектарам , дзе . Згодна з 17.15 . Заўважым, што адказ мог выглядаць і інакш, напрыклад, калі ўзяць , атрымаем уласныя вектары , адкуль, умове задачы задавальняе і матрыца .

Наогул, да ўсіх матрыц , дзе і , . Заўважым, што не толькі матрыца T знаходзіцца не адзіным чынам, але і матрыца B таксама, паколькі калі б мы абазначылі , тады атрымалі б, што , дзе і . Такім чынам, матрыца , калі яна існуе, азначана адзіным чынам з дакладнасцю да парадку элементаў на дыяганалі.

У наступных прыкладах мы будзем прыводзіць адзін з магчымых адказаў.

Прыклад 17.16.2. . Раней энайшлі тры розныя ўласныя значэнні , якія адпавядаюць уласным вектарам са слупкамі каардынат , дзе . Тады .

Прыклад 17.16.3. . Уласнае значэнне – адно. Усе уласныя вектары, якім яно адпавядае, калінеарныя, паколькі, яны маюць слупкі каардынат , cÎ R \{0}. Такім чынам, не існуе базіса V, які утвараюць уласныя вектары адпаведнага аператара f (глядзі доказ 17.15).

Значыцца, па 17.12, не існуе такой матрыцы T, каб матрыца была дыяганальнаю.

Прыклад 17.16.4.

У гэтым выпадку, як і ў 17.16.3, існуе кратны корань , які адпавядае ўласным вектарам са слупкамі каардынат , дзе . Можам узяць два незалежных уласных вектара са слупкамі каардынат (нагадайце рашэнне аднародных сістэм лінейных раўнанняў і фундаментальныя сістэмы іх рашэнняў).Уласнае значэнне адпавядае уласнаму вектару са слупком каардынат . З лінейнай незалежнасці першых 2-х вектароў і з 17.13 вынікае, што тры найдзеныя вектара ўтвараюць базіс прасторы, а тады па 17.12 атрымоўваем, што , дзе .

Прыклад 17.16.5 і 17.16.6. . З рашэння 17.11.5 і 17.11.6 вынікае, што для адвольнай нявыраджанай рэчаіснай матрыцы , матрыца не будзе дыяганальнай (нагадайце 17.12).

Але, калі разглядаць задачу над полем камплексных лікаў, тады, , дзе .

Заўважым, што ў прыкладах 17.16.3 і 17.16.4 пры наяўнасці кратных каранёў, атрымалі розныя адказы. Гэта тлумачыцца наступнаю тэарэмаю:

Тэарэма 17.17. Няхай A ÎMat(n´n,P) мае ўласныя значэнні кратнасці , тады існуе T ÎMat(n´n,P)такая, што – дыяганальная ў тым і толькі ў тым выпадку, калі выконваюцца 2 умовы: