Прыклады

1. Відавочна, што тоесны аператар з’яўляецца самаспалучаным.

2. У V₂ разгледзім аператар Pr_x праектавання на вось Ox. Відавочна, што . Тады , і .

Такім чынам, даказалі, што Pr_x – самаспалучаны аператар.

Уласцівасць 18.2. Калі f – самаспалучаны аператар прасторы ε, U Ì ε - з’яўляецца f- інварыянтнай падпрасторай, тады артаганальнае дапаўненне да U

U ε Î U

з’яўляецца f -інварыянтнай падпрасторай.

Доказ. Спачатку дакажам, што U - падпрастора ў ε. U , R, U , значыцца, U . Па крытэрыю падпрасторы з гэтага вынікае, што U - падпрастора ў ε.

Паколькі U, . З самаспалучанасці аператара f вынікае, што , значыцца Î U і U з’яўляецца f -інварыянтнай падпрасторай.n

Уласцівасць 18.3. Калі f – самаспалучаны аператар прасторы ε, А – яго матрыца ў ортаўнармаваным базісе, тады А=А^Т (1)

(нагадаем, што матрыцы, якія задавальняюць роўнасці (1) называюцца сіметрычнымі)

Доказ. Фіксуем адвольны ортаўнармаваны базіс у ε. Няхай у гэтым базісе f мае матрыцу А, адвольныя вектары и маюць слупкі каардынат X і Y. Тады вектары і маюць слупкі каардынат AX і AY. Па уласцівасці 14.7

=(AX)^T Y = X ^T A ^T Y, і = X ^T AY.

З самаспалучанасці f вынікае, што X ^T A ^T Y = X ^T AY. Так як X і Y – адвольныя слупкі, з апошняй роўнасці па леме 15.6 вынікае, што A ^T= A. n

Уласцівасць 18.4. Калі А – сіметрычная рэчаісная матрыца вымернасці n×n, тады для адвольнага ортаўнармаванага базіса ε ⁿ існуе лінейны самаспалучаны аператар f, які ў гэтым базісе мае матрыцу А.

Доказ. Існаванне лінейнага аператара f, які ў фіксаваным базісе мае матрыцу А, даказана ў уласцівасці 11.4. Дакажам, што f – самаспалучаны.

Калі - адвольныя вектары з ε ⁿ маюць у дадзеным ортаўнармаваным базісе слупкі каардынат X і Y, тады, па пабудове аператара f, вектары і маюць у гэтым базісе слупкі каардынат AX і AY адпаведна.

Па умове, базіс – ортаўнармаваны, значыцца можам выкарыстаць вынік 14.7:

; .

Паколькі матрыца А - сіметрычная, і аператар f – самаспалучаны.n

Уласцівасць 18.5. Калі і - уласныя вектары самаспалучанага аператара f, якім адпавядаюць няроўныя рэчаісныя ўласныя значэнні і , тады вектары і узаемаартаганальныя.

Доказ. Так як f – самаспалучаны аператар, , , . Па умове , значыцца, .n

Лема 18.6. Калі f – лінейны аператар рэчаіснай лінейнай прасторы канечнай вымернасці n , тады існуе f -інварыянтная падпрастора U вымернасці 1 альбо 2.

Доказ. Вядома, што кожны паліном з камплекснымі (у прыватнасці, з рэчаіснымі) каэфіцыентамі мае камплексны корань. Разгледзім характарыстычны паліном аператара f. Калі ён мае рэчаісны корань , тады, як даказана ў тэарэме 17.10, ён мае уласны вектар , якому адпавядае уласнае значэнне . Тады, відавочна, што прастора R з’яўляецца f -інварыянтнай падпрасторай вымернасці 1.

Няхай мае камплексны корань . Фіксуем у V некаторы базіс . Тады f мае ў гэтым базісе матрыцу А =(a_ij)_n×n. Разгледзім сістэму адносна камплексных невядомых :.

(2)

Калі ў сістэме (2) перанесці ўсе складнікі ў левую частку, атрымаем аднародную сістэму адносна невядомых . Матрыца гэтай сістэмы будзе роўная A - E, а яе дэтэрмінант роўны .

Атрымалі, што ранг аднароднай сістэмы меньшы за колькасць невядомых, значыцца сістэма мае ненулявое рашэнне . Разгледзім два вектары з V:

і .

Перапішам сістэму (2), прыраўняўшы рэчаісныя і ўяўныя часткі камплексных лікаў: ; .

Апошнія дзве сістэмы перапішам ў матрычным выглядзе:

, ,

што згодна з 11.5 эквівалентна таму, што , (3)

Разгледзім зараз падпрастору у V. З роўнасцей (3) вынікае, што з’яўляецца f -інварыянтнай. Нескладана паказаць, што , але мы задаволімся тым, што , чым закончым доказ лемы. n

Уласцівасць 18.7. Усе уласныя лікі самаспалучанага аператара – рэчаісныя.

Доказ. Ад процілеглага. Няхай f мае уласны лік , дзе . З доказу лемы 18.6 вынікае, што існуюць ненулявыя вектары і , якія задавальняюць роўнасцям (3). Тады

; ; ;

. Паколькі , атрымалі супярэчнасць.n

Тэарэма 18.8. Калі f – самаспалучаны аператар эўклідавай прасторы ε канечнай вымернасці, тады існуе ортаўнармаваны базіс, у якім f мае дыяганальную матрыцу.

Доказ. Выкарыстаем метад матэматычнай індукцыі па n=dim ε.

Калі n=1, тады адвольны лінейны аператар f ÎEnd(ε) мае выгляд , ён будзе самаспалучаным і ў адвольным базісе мае матрыцу .

Няхай сцвярджэнне даказана, калі dim ε =n. Разгледзім выпадак, калі dim ε =n+1. Па 18.6 і 18.7 існуе уласнае рэчаіснае значэнне аператара f, якое адпавядае уласнаму вектару (можам лічыць, што , паколькі можам пранармаваць ненулявы уласны вектар). Па уласцівасці 18.2, U – лінейная прастора вектароў, якія артаганальныя - з’яўляецца f -інварыянтнай прасторай (паколькі з’яўляецца артаганальным дапаўненнем да f -інварыянтнай прасторы ).

Няхай dim U =k і - базіс U. Разгледзім адвольны вектар ε і дакажам, што ён раскладаецца па вектарам і вектару . Будзем шукаць такі рэчаісны лік , каб вектары і былі артаганальнымі: ; .

Паколькі , тады задавальняе ўмове.

Такім чынам, U, і раскладваецца па базісу: .

Адкуль вынікае патрэбны расклад . Такім чынам, сістэма вектароў валодае ўласцівасцю паўнаты. Дакажам, што гэтыя вектары лінейна незалежныя. Няхай ,тады .

Паколькі U, , маем, што , а так як і , значыцца . Тады .Аднак, - базіс прасторы U, значыцца , чым даказана азначаная вышэй лінейная незалежнасць сістэмы вектароў , з чаго вынікае, што яны ўтвараюць базіс ε, значыцца, k=n.

Так як падпрастора U з’яўляецца f -інварыянтнай, мы можам разгледзець f як самаспалучаны аператар прасторы U. Паколькі dim U =n, па пасылцы індукцыі існуе ортаўнармаваны базіс прасторы U, у якім f мае дыяганальную матрыцу , прычым, з 17.2 вынікае, што - уласныя вектары аператара f, якім адпавядаюць уласныя значэнні .

Атрымалі, што - ортаўнармаваны базіс прасторы ε. Значыцца, - ортаўнармаваны базіс прасторы ε, усе вектары яго з’яўляюцца ўласнымі вектарамі аператара f, і ў гэтым базісе f мае матрыцу A .n

Уласцівасць 18.9. Для кожнай сіметрычнай матрыцы A ÎMat(n´n;R) існуе артаганальная матрыца Т такая, што матрыца T ^-1 AT - дыяганальная.

Доказ. Па ўласцівасці 18.4 можам лічыць, што А з’яўляецца матрыцай самаспалучанага аператара f у ортаўнармаваным базісе эўклідавай прасторы ε. Па ўласцівасці 18.8, існуе базіс , у якім f мае матрыцу . Калі Т – матрыца пераходу ад першага базіса да другога, тады па тэарэме 11.8 T ^-1 AT .n

Вынік 18.10. Ва ўмовах уласцівасці 18.9 T ^T AT - дыяганальная.

Доказ. Паколькі матрыца Т артаганальная, T ^T= T ^-1.n