Функция реализации

Тема 4. Принятие решений в условиях стохастической неопределенности (риска)

Функция реализации

Если предположить, что на результат принятия решений оказывает влияние некоторая среда, в которую погружена управляемая система, то всякую задачу принятия решения в условиях определенности, риска и неопределенности можно представить в форме функции реализа­ции.

Пусть, по-прежнему, задано множество всех альтернатив и множество возможных исходов . В общем случае ситуации принятия решений каждая альтернатива может привести к одному из нескольких возможных исходов. Какой именно исход реализуется, зависит от случайного параметра неопределенности . Будем считать, что неопределенность возникает из-за влияния на ситуацию внешних факторов, обусловленных состоянием среды в момент принятия решения. Тогда представляет собой множество возможных состояний среды.

Каждый исход , в силу сказанного, есть функция двух аргументов: , где . Будем называть F функцией реали­зации. Таким образом, функция реализации сопоставляет каж­дой паре вида (альтернатива, состояние среды) определяемый ею исход. Такую задачу при­нятия решения будем называть задачей принятия решения в форме функции реализации.

Если множество альтернатив и множество состояний среды конечны , то ситуацию выбора альтернативы в условиях неопределенности можно представить с помощью матрицы , называемой матрицей решений.

Таблица 1. Матица решений

Заданная матрица интерпретируется следующим образом. Если выбрано решение , то может реализоваться любой исход из соответствующей строки матрицы: . Какой именно исход будет реализован, зависит от состояния среды .

Для описания задачи принятия решения в условиях определенности с помощью функции реализации, очевидно, необходимо ввести среду, име­ющую только одно состояние. Тогда можно построить матрицу решений, которая будет иметь только один столбец: в ее i -ю строку надо поместить исход, соответствующий альтерна­тиве .

Задача принятия решения в условиях неопределенности отличается тем, что нельзя гарантировать наступление определенного исхода при выборе некоторого решения . Следовательно, множество состояний среды должно состоять более чем из одного элемента.

Если каждому возможному состоянию сре­ды , приписана вероятность его появления qj

,

то имеем задачу принятия решений в условиях стохастической неопределенности (риска).

Рассмотрим примеры ситуаций принятия решения в условиях неопределен­ности.

Пример 4.2 (зонтики, шляпы, плащи). Небольшое предприятие легкой промыш­ленности может выпускать продукцию одного из трех видов: зонтики, шляпы или плащи. Готовясь к летнему сезону, директор предприятия должен принять реше­ние — какой из этих трех видов продукции выпускать. При этом исход (доход предприятия) зависит от того, каким будет летний сезон — дождливым, жарким или умеренным. В дождливое лето наибольший доход принесет производство зонтиков, меньший — производство плащей и совсем малый — производство шляп. В жаркое лето наибольший доход даст производство шляп, средний — производ­ство зонтиков (которые можно использовать как от дождя, так и от солнца) и меньший — производство плащей. В умеренное лето наибольший доход от произ­водства плащей, несколько меньший — от производства шляп и еще меньший – от производства зонтиков. Пусть соответствующие доходы предприятия опреде­лены табл.4.3.

В данном примере принимающий решение может приписать вероятность каждому состоянию среды, если ему изве­стна статистика дождливых, жарких и умеренных лет (время года) в этой местности.

Таблица 4-3. Численные оценки доходов предприятия (функции реализации)

Какое следует принять решение, если целью считать максимизацию дохода?

Пример 4.3 (о замене вратаря). Вернемся к задаче о замене вратаря на последних минутах хоккейного матча. Для наглядного представления задачи использовался граф связи альтернатив с исходами.

Здесь имеется:

две альтернативы: – заменить вратаря, – оставить вратаря;

три исхода: выигрыш (В), ничья (Н), поражение (П).

Приведенная формулировка задачи принятия решений в условиях риска легко отображается с помощью графа связей альтернатив с исходами (рис.2.1), но не позволяет понять, что является здесь состояниями среды и возможно ли, в этом случае, построить матрицу решений и функцию реализации.

Оказывается, язык функций реализации является достаточно универсальным языком и позволяет описывать подобные ситуации неопределенности.

Определим множество состоян ий среды, исходя из следующих рассуждений.

Знание состояния среды превращает ситуацию принятия решения в полностью определенную: выбор любой из альтернатив приводит к вполне определенному единственному исходу. Следовательно, на графе связей альтернатив с исходами каждому состоянию среды будет соответствовать свой подграф, в котором из каждой альтернативы исходит только одна дуга, указывающая, какой исход будет реализован при выборе этой альтернативы.

Обозначим – максимальное возможное число таких подграфов.

В качестве «состояний среды» возьмем множество всевозможных [«однозначных»] отображений , , удовле­творяющих тому условию, что есть исход, возможный при выборе альтернативы (согласно графу связей альтернатив с исходами).

Выбор альтернативы и «состояния среды» , однозначно определяет исход – им является , поэтому можно ввести функцию реали­зации F, определив ее условием .

Далее, каждому состоянию среды припишем вероятность его наступления (вероятность реализации соответствующего подграфа)

, ,

где – вероятность наступления исхода , при выборе альтернативы в состоянии .

Таким образом, для вычисления нужно перемножить чис­ла, стоящие около дуг составляющих подграф, соответствующий отображению . Теперь таблица, представляющая функцию реализации, может быть построена.

Следуя сказанному выше, в задаче о замене вратаря введем шесть искусственных «состояний среды»:

Теперь функция реализации может быть задана в виде таблицы (матрицы решений).

Таблица 4-3. Функция реализации (задача о замене вратаря)

Альтернативы	Состояния среды
	В	Н	П	В	Н	П
	Н	Н	Н	П	П	П
Вероятности	7/48	7/16	7/24	1/48	1/16	1/24

Очевидно, что если мы имеем задачу принятия решения в условиях неопределенности, то приведение ее к форме функции реализации проводится аналогично, но, конечно, без нахождения вероятно­стей .

Установленная возможность представления всякой зада­чи принятия решения в форме функции реализации означает, что неопределенность, проявляющуюся в неоднозначной связи между средством и результатом, всегда можно объяснить существова­нием некоторой среды, оказывающей влияние на результат, причем условия определенности, риска и неопределенности при принятии решения будут определяться типом информированности принима­ющего решения о состоянии среды.

Методологическое же значение этого факта состоит в том, что широкий класс задач принятия решения приводится к некоторой стандартной форме – форме функции реализации.

Отметим, что многие практические задачи формулируются непосредственно в форме функции реализации. Это, прежде всего, задачи, где реально существует среда, влияющая на результат принятого решения. Например, задачи принятия оптимальных проектных решений в условиях технологического разброса параметров изделия.