Тема 4. Принятие решений в условиях стохастической неопределенности (риска)
Функция реализации
Если предположить, что на результат принятия решений оказывает влияние некоторая среда, в которую погружена управляемая система, то всякую задачу принятия решения в условиях определенности, риска и неопределенности можно представить в форме функции реализации.
Пусть, по-прежнему, задано множество всех альтернатив и множество возможных исходов . В общем случае ситуации принятия решений каждая альтернатива может привести к одному из нескольких возможных исходов. Какой именно исход реализуется, зависит от случайного параметра неопределенности . Будем считать, что неопределенность возникает из-за влияния на ситуацию внешних факторов, обусловленных состоянием среды в момент принятия решения. Тогда представляет собой множество возможных состояний среды.
Каждый исход , в силу сказанного, есть функция двух аргументов: , где . Будем называть F функцией реализации. Таким образом, функция реализации сопоставляет каждой паре вида (альтернатива, состояние среды) определяемый ею исход. Такую задачу принятия решения будем называть задачей принятия решения в форме функции реализации.
Если множество альтернатив и множество состояний среды конечны , то ситуацию выбора альтернативы в условиях неопределенности можно представить с помощью матрицы , называемой матрицей решений.
Таблица 1. Матица решений
Состояния среды | |||||
Альтернативы | z1 | … | zj | … | zm |
x1 | y11 | … | y1j | … | y1m |
… | … | … | … | ||
xi | yi1 | yij | yim | ||
… | … | … | … | ||
xn | yn1 | ynj | ynm |
Заданная матрица интерпретируется следующим образом. Если выбрано решение , то может реализоваться любой исход из соответствующей строки матрицы: . Какой именно исход будет реализован, зависит от состояния среды .
Для описания задачи принятия решения в условиях определенности с помощью функции реализации, очевидно, необходимо ввести среду, имеющую только одно состояние. Тогда можно построить матрицу решений, которая будет иметь только один столбец: в ее i -ю строку надо поместить исход, соответствующий альтернативе .
Задача принятия решения в условиях неопределенности отличается тем, что нельзя гарантировать наступление определенного исхода при выборе некоторого решения . Следовательно, множество состояний среды должно состоять более чем из одного элемента.
Если каждому возможному состоянию среды , приписана вероятность его появления qj
,
то имеем задачу принятия решений в условиях стохастической неопределенности (риска).
Рассмотрим примеры ситуаций принятия решения в условиях неопределенности.
Пример 4.2 (зонтики, шляпы, плащи). Небольшое предприятие легкой промышленности может выпускать продукцию одного из трех видов: зонтики, шляпы или плащи. Готовясь к летнему сезону, директор предприятия должен принять решение — какой из этих трех видов продукции выпускать. При этом исход (доход предприятия) зависит от того, каким будет летний сезон — дождливым, жарким или умеренным. В дождливое лето наибольший доход принесет производство зонтиков, меньший — производство плащей и совсем малый — производство шляп. В жаркое лето наибольший доход даст производство шляп, средний — производство зонтиков (которые можно использовать как от дождя, так и от солнца) и меньший — производство плащей. В умеренное лето наибольший доход от производства плащей, несколько меньший — от производства шляп и еще меньший – от производства зонтиков. Пусть соответствующие доходы предприятия определены табл.4.3.
В данном примере принимающий решение может приписать вероятность каждому состоянию среды, если ему известна статистика дождливых, жарких и умеренных лет (время года) в этой местности.
Таблица 4-3. Численные оценки доходов предприятия (функции реализации)
Альтернативы | Состояние среды | ||
Дождливое лето | Жаркое лето | Умеренное лето | |
Производить зонтики | |||
Производить шляпы | |||
Производить плащи | |||
Вероятности | 0,6 | 0,1 | 0,3 |
Какое следует принять решение, если целью считать максимизацию дохода?
Пример 4.3 (о замене вратаря). Вернемся к задаче о замене вратаря на последних минутах хоккейного матча. Для наглядного представления задачи использовался граф связи альтернатив с исходами.
Здесь имеется:
две альтернативы: – заменить вратаря, – оставить вратаря;
три исхода: выигрыш (В), ничья (Н), поражение (П).
Приведенная формулировка задачи принятия решений в условиях риска легко отображается с помощью графа связей альтернатив с исходами (рис.2.1), но не позволяет понять, что является здесь состояниями среды и возможно ли, в этом случае, построить матрицу решений и функцию реализации.
Оказывается, язык функций реализации является достаточно универсальным языком и позволяет описывать подобные ситуации неопределенности.
Определим множество состоян ий среды, исходя из следующих рассуждений.
Знание состояния среды превращает ситуацию принятия решения в полностью определенную: выбор любой из альтернатив приводит к вполне определенному единственному исходу. Следовательно, на графе связей альтернатив с исходами каждому состоянию среды будет соответствовать свой подграф, в котором из каждой альтернативы исходит только одна дуга, указывающая, какой исход будет реализован при выборе этой альтернативы.
Обозначим – максимальное возможное число таких подграфов.
В качестве «состояний среды» возьмем множество всевозможных [«однозначных»] отображений , , удовлетворяющих тому условию, что есть исход, возможный при выборе альтернативы (согласно графу связей альтернатив с исходами).
Выбор альтернативы и «состояния среды» , однозначно определяет исход – им является , поэтому можно ввести функцию реализации F, определив ее условием .
Далее, каждому состоянию среды припишем вероятность его наступления (вероятность реализации соответствующего подграфа)
, ,
где – вероятность наступления исхода , при выборе альтернативы в состоянии .
Таким образом, для вычисления нужно перемножить числа, стоящие около дуг составляющих подграф, соответствующий отображению . Теперь таблица, представляющая функцию реализации, может быть построена.
Следуя сказанному выше, в задаче о замене вратаря введем шесть искусственных «состояний среды»:
Теперь функция реализации может быть задана в виде таблицы (матрицы решений).
Таблица 4-3. Функция реализации (задача о замене вратаря)
Альтернативы | Состояния среды | |||||
В | Н | П | В | Н | П | |
Н | Н | Н | П | П | П | |
Вероятности | 7/48 | 7/16 | 7/24 | 1/48 | 1/16 | 1/24 |
Очевидно, что если мы имеем задачу принятия решения в условиях неопределенности, то приведение ее к форме функции реализации проводится аналогично, но, конечно, без нахождения вероятностей .
Установленная возможность представления всякой задачи принятия решения в форме функции реализации означает, что неопределенность, проявляющуюся в неоднозначной связи между средством и результатом, всегда можно объяснить существованием некоторой среды, оказывающей влияние на результат, причем условия определенности, риска и неопределенности при принятии решения будут определяться типом информированности принимающего решения о состоянии среды.
Методологическое же значение этого факта состоит в том, что широкий класс задач принятия решения приводится к некоторой стандартной форме – форме функции реализации.
Отметим, что многие практические задачи формулируются непосредственно в форме функции реализации. Это, прежде всего, задачи, где реально существует среда, влияющая на результат принятого решения. Например, задачи принятия оптимальных проектных решений в условиях технологического разброса параметров изделия.