Необходимое условие экстремума

Ранее было дано определение максимума и минимума функции.

Теорема 2 (необходимое условие экстремума). Пусть функция f(x) задана в некоторой окрестности точки х₀. Если х₀ является точкой экстремума функции, то f’ (x ₀) = 0 или не существует.

Доказательство.

Действительно, производная в точке х₀ либо существует, либо нет. Если она существует, то по теореме Ферма она равна нулю.

Примеры.

1. Функция y = x ² имеет минимум при х = 0, причем (х ²)′ = 2 x = 0 при х= 0.

2. Минимум функции y = | x | достигается при х = 0, причем производная в этой точке не существует.

Замечание. Отметим еще раз, что теорема 2 дает необходимое, но не достаточное условие экстремума, то есть не во всех точках, в которых f ‘(x) = 0, функция достигает экстремума.

Пример. У функции y = x ³ y ′ = 3 x ² = 0 при х = 0, однако функция монотонно возрастает во всей области определения.

Теорема 2 утверждает, что все точки экстремума находятся в множестве критических точек функции.