Решение

Ответ: 1,5.

2.1.2. Дифференциал. Производные сложных функций

При исследовании вопросов, связанных с дифференцируемостью, ограничимся случаем функции трех переменных, поскольку все доказательства для большего количества переменных проводятся так же.

Полным приращением функции u = f(x, y, z) называется

Теорема 1. Если частные производные

существуют в точке (х₀, у₀, z₀) и в некоторой ее окрестности и непрерывны в точке (x₀, y₀, z₀), то

где α, β, γ – бесконечно малые, зависящие от D х, D у, D z.

Доказательство.

Представим полное приращение Δ u в виде:

где каждая разность представляет собой частное приращение функции только по одной из переменных. Из условия теоремы следует, что к этим разностям можно применить теорему Лагранжа. При этом получим:

Так как по условию теоремы частные производные непрерывны в точке (х₀, у₀, z₀), можно представить их в виде:

Теорема доказана.

Можно показать, что

где

Действительно, α, β и γ – бесконечно малые при а

ограниченные (т.к. их модули не превышают 1).

Тогда приращение функции, удовлетворяющей условиям теоремы 1, можно представить в виде:

Если приращение функции u = f (x, y, z) в точке (x₀, y₀, z₀) можно представить в виде

то функция называется дифференцируемой в этой точке, а выражение

главной линейной частью приращения или полным дифференциалом рассматриваемой функции.

Обозначения: du, df (x₀, y₀, z₀).

Так же, как в случае функции одной переменной, дифференциалами независимых переменных считаются их произвольные приращения, поэтому

Замечание 1. Итак, утверждение «функция дифференцируема» не равнозначно утверждению «функция имеет частные производные» - для дифференцируемости требуется еще и непрерывность этих производных в рассматриваемой точке.

Замечание 2. Если в последней формуле считать

частными дифференциалами данной функции (как функции одного из аргументов), то можно сказать, что полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов:

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

По аналогии с линеаризацией функции одной переменной можно при приближенном вычислении значений функции нескольких переменных, дифференцируемой в некоторой точке, заменять ее приращение дифференциалом. Таким образом, можно находить приближенное значение функции нескольких (например, двух) переменных по формуле:

где