Решение

Ответ:

2.1.3. Неявные функции. Производные высших порядков

Функция у от х, определяемая уравнением F (x, y) = 0, называется неявной функцией.

Конечно, далеко не каждое уравнение подобного вида определяет у как однозначную (и, тем более, непрерывную) функцию от х. Например, уравнение эллипса

задает у как двузначную функцию от х:

Условия существования однозначной и непрерывной неявной функции определяются следующей теоремой:

Теорема 1 (без доказательства). Пусть:

1) функция F (x,y) определена и непрерывна в некотором прямоугольнике

с центром в точке (х₀, у₀);

2) F (x₀, y₀) = 0;

3) при постоянном х F (x,y) монотонно возрастает (или убывает) с возрастанием у.

Тогда

а) в некоторой окрестности точки (х₀, у₀) уравнение

F (x, y) = 0

определяет у как однозначную функцию от х: y = f(x);

б) при х = х₀ эта функция принимает значение у₀: f (x₀) = y₀;

в) функция f (x) непрерывна.

Найдем при выполнении указанных условий производную функции y = f (x) по х.

Теорема 2. Пусть функция у от х задается неявно уравнением

F (x, y) = 0,

где функция F (x,y) удовлетворяет условиям теоремы 1. Пусть, кроме того,

непрерывные функции в некоторой области D, содержащей точку (х,у), координаты которой удовлетворяют уравнению

F (x, y) = 0,

причем в этой точке

Тогда функция у от х имеет производную

Доказательство.

Выберем некоторое значение х и соответствующее ему значение у. Зададим х приращение D х, тогда функция y = f (x) получит приращение D у. При этом F (x,y) = 0, F (x+ D x, y+ D y) = 0, поэтому F (x+ D x, y+ D y) – F (x,y) = 0. Слева в этом равенстве стоит полное приращение функции F (x,y), которое можно представить в виде: