Производная по направлению. Градиент

Пусть функция u = f (x, y, z) непрерывна в некоторой области D и имеет в этой области непрерывные частные производные. Выберем в рассматриваемой области точку M(x,y,z) и проведем из нее вектор S, направляющие косинусы которого cos a, cos b, cos g. На векторе S на расстоянии D s от его начала найдем точку М ₁(х+ D х, у+ D у, z+ D z), где

Представим полное приращение функции f в виде:

После деления на Δ s получаем:

Поскольку

предыдущее равенство можно переписать в виде:

Предел отношения называется производной от функции u = f (x, y, z) по направлению вектора S и обозначается

При этом

Замечание 1. Частные производные являются частным случаем производной по направлению. Например, при

получаем:

Замечание 2. Выше определялся геометрический смысл частных производных функции двух переменных как угловых коэффициентов касательных к линиям пересечения поверхности, являющейся графиком функции, с плоскостями х = х₀ и у = у₀. Аналогичным образом можно рассматривать производную этой функции по направлению l в точке М(х₀, у₀) как угловой коэффициент линии пересечения данной поверхности и плоскости, проходящей через точку М параллельно оси O z и прямой l.

Вектор, координатами которого в каждой точке некоторой области являются частные производные функции u = f (x, y, z) в этой точке, называется градиентомфункции u = f (x, y, z).

Обозначение:

Свойства градиента

1. Производная по направлению некоторого вектора S равняется проекции вектора grad u на вектор S.

Доказательство.

Единичный вектор направления S имеет вид e_S ={cosα, cosβ, cosγ}, поэтому правая часть формулы (4.7) представляет собой скалярное произведение векторов grad u и e_s, то есть указанную проекцию.

2. Производная в данной точке по направлению вектора S имеет наибольшее значение, равное |grad u |, если это направление совпадает с направлением градиента.

Доказательство.

Обозначим угол между векторами S и grad u через j. Тогда из свойства 1 следует, что

следовательно, ее наибольшее значение достигается при j =0 и равно |grad u |.

3. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору grad u, равна нулю.

Доказательство.

В этом случае

4. Если z = f (x,y) – функция двух переменных, то

направлен перпендикулярно к линии уровня f (x,y) = c, проходящей через данную точку.