Геометрические приложения производных

Пусть функция z = f (x, y) является дифференцируемой в окрестности точки М (х₀, у₀). Тогда ее частные производные

являются угловыми коэффициентами касательных к линиям пересечения поверхности z = f (x, y) с плоскостями у = у₀ и х = х₀, которые будут касательными и к самой поверхности z = f (x, y). Составим уравнение плоскости, проходящей через эти прямые. Направляющие векторы касательных имеют вид

поэтому нормаль к плоскости можно представить в виде их векторного произведения:

Следовательно, уравнение плоскости можно записать так:

Плоскость, определяемая этим уравнением, называется касательной плоскостьюк графику функции z = f (x, y) в точке с координатами (х0,у0,z0).

Из определения дифференцируемой функции следует, что приращение функции f в окрестности точки М можно представить в виде:

Следовательно, разность между аппликатами графика функции и касательной плоскости является бесконечно малой более высокого порядка, чем r, при

При этом дифференциал функции f имеет вид:

что соответствует приращению аппликаты касательной плоскости к графику функции. В этом состоит геометрический смысл дифференциала.

В качестве нормали к рассматриваемой поверхности удобно принять вектор

Рис. 1

Пример.

Составим уравнение касательной плоскости к поверхности z = xy в точке М (1; 1). При х₀ = у₀ = 1 z₀ = 1;

Следовательно, касательная плоскость задается уравнением: z = 1 + (x – 1) + (y – 1), или x + y – z – 1 = 0. При этом вектор нормали в данной точке поверхности имеет вид: n = {1; 1; -1}.

Найдем приращение аппликат графика функции и касательной плоскости при переходе от точки М к точке N (1,01; 1,01).

Δ z = 1,01² - 1 = 0,0201; Δ z _кас = (1,01 + 1,01 – 1) – (1 + 1 – 1) = 0,02. Следовательно,

dz = Δ z _кас = 0,02. При этом Δ z – dz = 0,0001.