Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Как известно, функцию F(t) при условии существования ее производных по порядок n +1 можно разложить по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Запишем эту формулу в дифференциальной форме:

В этой форме формулу Тейлора можно распространить на случай функции нескольких переменных.

Рассмотрим функцию двух переменных f(x, y), имеющую в окрестности точки (х₀, у₀) непрерывные производные по (n + 1)-й порядок включительно. Зададим аргументам х и у некоторые приращения D х и D у и рассмотрим новую независимую переменную t:

Эти формулы задают прямолинейный отрезок, соединяющий точки (х₀ ,у₀) и (х₀+ D х,у₀+ D у). Тогда вместо приращения D f (x₀,y₀) можно рассматривать приращение вспомогательной функции

F (t) = f (x₀+t D x, y₀+t D y),

равное D F (0) = F( 1) – F (0). Но F (t) является функцией одной переменной t, следовательно, к ней применима формула, приведенная в начале раздела. Получаем:

Отметим, что при линейной замене переменных дифференциалы высших порядков обладают свойством инвариантности, то есть

Подставив эти выражения в предыдущую формулу, получим формулу Тейлора для функции двух переменных:

Замечание. В дифференциальной форме формула Тейлора для случая нескольких переменных выглядит достаточно просто, однако в развернутом виде она весьма громоздка. Например, даже для функции двух переменных первые ее члена выглядят так: