Решение

Ответ:

2.2.2. Экстремумы

Точка М0 (х0, у0) называется точкой максимума функции z = f (x, y), если f (xo, yo) > f (x, y) для всех точек (х, у) из некоторой окрестности точки М0.

Точка М0 (х0, у0) называется точкой минимума функции z = f (x, y), если f (xo, yo) < f (x, y) для всех точек (х, у) из некоторой окрестности точки М0.

Замечание 1. Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции нескольких переменных.

Замечание 2. Аналогичным образом определяется точка экстремума для функции от любого количества переменных.

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если М₀ (х₀, у₀) – точка экстремума функции z = f (x, y), то в этой точке частные производные первого порядка данной функции равны нулю или не существуют.

Доказательство.

Зафиксируем значение переменной у, считая у = у₀. Тогда функция f (x, y₀) будет функцией одной переменной х, для которой х = х₀ является точкой экстремума. Следовательно, по теореме Ферма

или не существует. Аналогично доказывается такое же утверждение для

Точки, принадлежащие области определения функции нескольких переменных, в которых частные производные функции равны нулю или не существуют, называются стационарными точками этой функции.

Замечание. Таким образом, экстремум может достигаться только в стационарных точках, но не обязательно он наблюдается в каждой из них.

Примеры.

1. Найдем стационарную точку функции z = x ² + y ². Для этого решим систему уравнений

откуда х₀ = у₀ = 0. Очевидно, что в этой точке функция имеет минимум, так как при х = у = 0 z = 0, а при остальных значениях аргументов z > 0.

2. Для функции z = xy стационарной точкой тоже является (0, 0), но экстремум в этой точке не достигается (z ( 0, 0) = 0, а в окрестности стационарной точки функция принимает как положительные, так и отрицательные значения).

Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть в некоторой окрестности точки М₀ (х₀, у₀), являющейся стационарной точкой функции z = f (x, y), эта функция имеет непрерывные частные производные до 3-го порядка включительно. Обозначим

Тогда:

1) f (x, y) имеет в точке М₀ максимум, если AC – B ² > 0, A < 0;

2) f (x, y) имеет в точке М₀ минимум, если AC – B ² > 0, A > 0;

3) экстремум в стационарной точке отсутствует, если AC – B ² < 0;

4) если AC – B ² = 0, необходимо дополнительное исследование.

Доказательство.

Напишем формулу Тейлора второго порядка для функции f (x, y), помня о том, что в стационарной точке частные производные первого порядка равны нулю:

Если угол между отрезком М₀М, где М (х₀+ D х, у₀+ D у), и осью О х обозначить j, то D х = D r cos j, D y = D r sin j. При этом формула Тейлора примет вид:

Пусть Тогда можно разделить и умножить выражение в скобках на А. Получим:

Рассмотрим теперь четыре возможных случая:

1) AC-B ² > 0, A < 0. Тогда

при достаточно малых D r. Следовательно, в некоторой окрестности М₀ f (x₀ + D x, y₀ + D y) < f (x₀, y₀), то есть М₀ – точка максимума.

2) Пусть AC – B ² > 0, A > 0. Тогда

и М₀ – точка минимума.

3) Пусть AC-B ² < 0, A > 0. Рассмотрим приращение аргументов вдоль луча j = 0. Тогда из ранее доказанного следует, что

то есть при движении вдоль этого луча функция возрастает. Если же перемещаться вдоль луча j = j ₀ такого, что tg j₀ = -A/B, то

следовательно, при движении вдоль этого луча функция убывает. Значит, точка М₀ не является точкой экстремума.

3`) При AC – B ² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится аналогично предыдущему.

3``) Если AC – B ² < 0, A = 0, то При этом

Тогда при достаточно малых j выражение 2 B cos j + C sin j близко к 2 В, то есть сохраняет постоянный знак, а sin j меняет знак в окрестности точки М₀. Значит, приращение функции меняет знак в окрестности стационарной точки, которая поэтому не является точкой экстремума.

4) Если AC – B ² = 0, а , , то есть знак приращения определяется знаком 2a₀. При этом для выяснения вопроса о существовании экстремума необходимо дальнейшее исследование.

Пример. Найдем точки экстремума функции z = x ² - 2 xy + 2 y ² + 2 x. Для поиска стационарных точек решим систему

Итак, стационарная точка (-2,-1). При этом А = 2, В = -2, С = 4. Тогда AC – B ² = 4 > 0, следовательно, в стационарной точке достигается экстремум, а именно минимум (так как A > 0).