Примеры

1. Найдем наибольшее значение функции z = sin x + sin y – sin (x + y) в треугольнике со сторонами х = 0, у = 0, х + у = 2π. Стационарные точки определяются из решения системы

откуда

Единственной внутренней точкой данного треугольника, являющейся решением полученной системы, будет

Это значение оказывается наибольшим и на всем рассматриваемом множестве, так как на его границе z = 0.

2. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции z = x ² + y ² - 12 x + 16 y в области x ² + y ² ≤ 25.

откуда х = 6, у = -8 – точка, не лежащая в заданном круге. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения данная функция принимает на границе области, то есть на окружности x ² + y ² = 25. Составим функцию Лагранжа

L (x, y) = x ² + y ² - 12 x + 16 y + l(x ² + y ² - 25).

Ее стационарные точки найдем из системы

Получим

откуда l₁ = 1, l₂ = -3. Следовательно, стационарными точками являются

(3, -4) и (-3, 4). В первой из них z = -75, во второй z = 125. Эти числа являются наименьшим и наибольшим значениями z в заданной области.