Чтобы вычислить производную функции y=f(x) в точке , необходимо:
1) вычислить значение функции в фиксированной точке :
® f().
2) задать приращение аргумента х; получить точку + х, вычислить значение функции в ней:
+ х®f( + х);
3) найти приращение функции:
f=f( + х)-f();
4) вычислить отношение:
;
5) найти предел полученного отношения при х®0:
= = .
Пример:
7.1 Производная постоянной.
Пусть f(x)=C, c=const. Найти .
Решение.
1) Фиксируем ; вычисляем значение функции в этой точке:
= С; ®С;
2) задаем приращение аргумента х, получаем точку + х, вычисляем значение функции в ней:
+ х® f( + х)=С;
3) находим приращение функции:
f = f( + х)- f()=С-С=0;
4) вычисляем отношение:
5) находим предел:
=
Итак, =0.
7.2 Производная линейной функции.
Пусть f(x)=kx+b; к, b – постоянные. Найдем .
Решение.
Без комментариев проведем дифференцирование по шагам 1-5:
1) ® f()=k +b;
2) + х®f( + х)=k( + х)+b;
3) f=f( + х)-f()=k( + х)+b-(k +b)= k +k х-k =k х;
4)
5) =
Итак, =k; т. к. - фиксированная, но произвольная точка, то получим для любого х:
.
Упражнение:
|
|
7.3 Найти производные функций по определению.
а) f(x)= ; б) h(x)= ; в) (x)= ; г)p(x)= .