Производная функции

Пусть функция y = f(x) задана на интервале (;b).

Зафиксируем некоторую точку и вычислим значение функции в ней, получим f(). Дадим приращение х 0, получим другую точку + х , вычислим значение функции в этой точке: f( + х). Вообще говоря, f( + х) f(). Разность f( + х) - f() называется приращением функции и обозначается f= y.

Определение. Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, если последнее стремится к нулю, а предел существует и конечен:

= = .

Производная обозначается ; ; (читается: «эф штрих от х»; «у штрих»; «де эф по де икс»).

Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке.

Операция нахождения производной от данной функции называется дифференцированием.

Функция f(x), х , имеющая производную в каждой точке этого интервала, называется дифференцируемой на этом интервале.

Можно доказать: если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

Обратное неверно: существуют функции, непрерывные в точке, но не имеющие производную в ней.

В задачах имеем:

1) Мгновенная скорость V(t) в момент есть производная пути по времени:

.

2) Мгновенная производительность труда z(t) в момент есть производная от количества произведенной продукции по времени:

.