Правила вычисления производной

I. Производная суммы функций.

Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций:

.

Доказательство. Рассмотрим две дифференцируемые в точке функции . Найдем производную функции f(x)= в точке по шагам 1-5:

1) ® f()= ;

2) + х®f( + х)=U( + х)+V( + х);

3) f=f( + х)-f()=U( + х)+V( + )-(U()+V())=(U( + х)-U())+(V( + х)-V())= U+ V;

4) ;

5) = = + = .

Итак, = .

Аналогично для произвольной точки х из области дифференцируемости функций имеем:

= (7.3)

Задания: 1) Дайте словесный комментарий каждого шага 1-5; 2) почему возможны равенства в п. 5?

II. Производная произведения дифференцируемых функций вычисляется по формуле.

(7.4)

Следствие:

Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

III. Производная частного двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

(7.5)

Формулы (7.4.), (7.5.) доказываются аналогично (7.3.)

Упражнение:

7.4 Используя правила вычисления производной, найдите производные следующих функций:

а) f(x)= ; б) h(x)= ; в) (x)= ; г) p(x)= .

Сравните метод решения с использованным в упражнении 3.1.

7.5 Найти производные функций:

а) 2х;

б) ;

в)

г) (х+1)(;

в) (х+1)(;

г) ;

д) .