Уравнения касательной и нормали к кривой

Рассмотрим кривую (рис. 3). Возьмем на этой кривой точку . Запишем уравнение касательной к кривой в этой точке, предполагая, что касательная не параллельна ось ординат. Зная геометрический смысл производной, отметим, что угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания:

Поэтому уравнение касательной, проходящей через точку имеет вид:

(14)

Прямая, проходящая через данную точку, перпендикулярно к касательной в этой точке, называется нормалью к кривой в данной точке.

Из определения нормали следует, что её угловой коэффициент связан с угловым коэффициентом касательной соотношением:

(15)

Следовательно, уравнение нормали к кривой в точке имеет вид:

(16)

П р и м е р 13. Написать уравнения касательной и нормали к кривой а) в точке б) в точке

Решение.

а) Найдем производную функции: Угловой коэффициент касательной к кривой равен Следовательно, уравнение касательной (формула 14) имеет вид: или Угловой коэффициент нормали к кривой равен: Следовательно, уравнение нормали (формула 16) имеет вид: или

б) Из уравнения кривой найдем производную: т.е. Следовательно, Тогда и уравнение касательной: или Тогда и уравнение нормали: или

Варианты индивидуальных заданий для самостоятельной работы

З а д а н и е 1. Найти производную функции по определению.

1.		11.		21.
2.	а) ;	12.	а) ;	22.	а) ;
3.	а) ;	13.	а) ;	23.	а) ;
4.	а) ;	14.	а) ;	24.	а) ;
5.	а) ;	15.	а) ;	25.	а) ;
6.		16.	а) ;	26.
7.	а) ;	17.	а) ;	27.	а) ;
8.	а) ;	18.	а) ;	28.	а) ;
9.	а) ;	19.	а) ;	29.	а) ;
10.	а) ;	20.	а) ;	30.	а) ;

З а д а н и е 2. Вычислить производную функции пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования.

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.
9.		24.
10.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.

З а д а н и е 3. Вычислить производную сложной функции.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.

17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

З а д а н и е 4. Найти производную функции, используя логарифмическую производную.

1.
2.	.
3.	.
4.
5.	.
6.	.
7.	.
8.	.
9.	.
10.	.
11.	.
12.	.
13.	.
14.	.
15.	.
16.	.
17.	.
18.	.
19.	.
20.	.
21.	.
22.	.
23.	.
24.	.
25.	.
26.	.
27.	.
28.	.
29.	.
30.	.

З а д а н и е 5. Найти производную неявно заданной функции.

1.	а) ; б)	16.	а) ; б)
2.	а) ; б)	17.	а) ; б) .
3.	а) ; б)	18.	а) ; б) .
4.	а) ; б) .	19.	а) ; б) .
5.	а) ; б) .	20.	а) ; б)
6.	а) ; б) .	21.	а) ; б) .
7.	а) ; б) .	22.	а) ; б) .
8.	а) ; б)	23.	а) ; б)
9.	а) ; б) .	24.	а) ; б) .
10.	а) ; б) .	25.	а) ; б) .
11.	а) ; б) .	26.	а) ; б) .
12.	а) ; б) .	27.	а) ; б) .
13.	а) ; б) .	28.	а) ; б) .
14.	а) ; б) .	29.	а) ; б)
15.	а) ; б)	30.	а) ; б)

З а д а н и е 6. Найти производные функций, заданных в параметрическом виде.

1.	а) б)	16.	а) б)
2.	а) б)	17.	а) б)
3.	а) б)	18.	а) б)
4.	а) б)	19.	а) б)
5.	а) б)	20.	а) б)
6.	а) б)	21.	а) б)
7.	а) б)	22.	а) б)
8.	а) б)	23.	а) б)
9.	а) б)	24.	а) б)
10.	а) б)	25.	а) б)
11.	а) б)	26.	а) б)
12.	а) б)	27.	а) б)
13.	а) б)	28.	а) б)
14.	а) б)	29.	а) б)
15.	а) б)	30.	а) б)

З а д а н и е 7. Найти производную второго порядка

1.	а) б)	16.	а) б)
2.	а) б)	17.	а) б)
3.	а) б)	18.	а) б)
4.	а) б)	19.	а) б)
5.	а) б)	20.	а) б)
6.	а) б)	21.	а) б)
7.	а) б)	22.	а) б)
8.	а) б)	23.	а) б)
9.	а) б)	24.	а) б)
10.	а) б)	25.	а) б)
11.	а) б)	26.	а) б)
12.	а) б)	27.	а) б)
13.	а) б)	28.	а) б)
14.	а) б)	29.	а) б)
15.	а) б)	30.	а) б)