Рассмотрим кривую (рис. 3). Возьмем на этой кривой точку . Запишем уравнение касательной к кривой в этой точке, предполагая, что касательная не параллельна ось ординат. Зная геометрический смысл производной, отметим, что угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания:
Поэтому уравнение касательной, проходящей через точку имеет вид:
(14)
Прямая, проходящая через данную точку, перпендикулярно к касательной в этой точке, называется нормалью к кривой в данной точке.
Из определения нормали следует, что её угловой коэффициент связан с угловым коэффициентом касательной соотношением:
(15)
Следовательно, уравнение нормали к кривой в точке имеет вид:
(16)
П р и м е р 13. Написать уравнения касательной и нормали к кривой а) в точке б) в точке
Решение.
а) Найдем производную функции: Угловой коэффициент касательной к кривой равен Следовательно, уравнение касательной (формула 14) имеет вид: или Угловой коэффициент нормали к кривой равен: Следовательно, уравнение нормали (формула 16) имеет вид: или
|
|
б) Из уравнения кривой найдем производную: т.е. Следовательно, Тогда и уравнение касательной: или Тогда и уравнение нормали: или
Варианты индивидуальных заданий для самостоятельной работы
З а д а н и е 1. Найти производную функции по определению.
1. | 11. | 21. | |||
2. | а) ; | 12. | а) ; | 22. | а) ; |
3. | а) ; | 13. | а) ; | 23. | а) ; |
4. | а) ; | 14. | а) ; | 24. | а) ; |
5. | а) ; | 15. | а) ; | 25. | а) ; |
6. | 16. | а) ; | 26. | ||
7. | а) ; | 17. | а) ; | 27. | а) ; |
8. | а) ; | 18. | а) ; | 28. | а) ; |
9. | а) ; | 19. | а) ; | 29. | а) ; |
10. | а) ; | 20. | а) ; | 30. | а) ; |
З а д а н и е 2. Вычислить производную функции пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования.
1. | 16. | ||
2. | 17. | ||
3. | 18. | ||
4. | 19. | ||
5. | 20. | ||
6. | 21. | ||
7. | 22. | ||
8. | |||
9. | 24. | ||
10. | |||
11. | 26. | ||
12. | 27. | ||
13. | 28. | ||
14. | 29. | ||
15. |
З а д а н и е 3. Вычислить производную сложной функции.
1. | |
2. | |
3. | |
4. | |
5. | |
6. | |
7. | |
8. | |
9. | |
10. | |
11. | |
12. | |
13. | |
14. | |
15. | |
16. |
17. | |
18. | |
19. | |
20. | |
21. | |
22. | |
23. | |
24. | |
25. | |
26. | |
27. | |
28. | |
29. | |
30. |
З а д а н и е 4. Найти производную функции, используя логарифмическую производную.
1. | |
2. | . |
3. | . |
4. | |
5. | . |
6. | . |
7. | . |
8. | . |
9. | . |
10. | . |
11. | . |
12. | . |
13. | . |
14. | . |
15. | . |
16. | . |
17. | . |
18. | . |
19. | . |
20. | . |
21. | . |
22. | . |
23. | . |
24. | . |
25. | . |
26. | . |
27. | . |
28. | . |
29. | . |
30. | . |
З а д а н и е 5. Найти производную неявно заданной функции.
|
|
1. | а) ; б) | 16. | а) ; б) |
2. | а) ; б) | 17. | а) ; б) . |
3. | а) ; б) | 18. | а) ; б) . |
4. | а) ; б) . | 19. | а) ; б) . |
5. | а) ; б) . | 20. | а) ; б) |
6. | а) ; б) . | 21. | а) ; б) . |
7. | а) ; б) . | 22. | а) ; б) . |
8. | а) ; б) | 23. | а) ; б) |
9. | а) ; б) . | 24. | а) ; б) . |
10. | а) ; б) . | 25. | а) ; б) . |
11. | а) ; б) . | 26. | а) ; б) . |
12. | а) ; б) . | 27. | а) ; б) . |
13. | а) ; б) . | 28. | а) ; б) . |
14. | а) ; б) . | 29. | а) ; б) |
15. | а) ; б) | 30. | а) ; б) |
З а д а н и е 6. Найти производные функций, заданных в параметрическом виде.
1. | а) б) | 16. | а) б) |
2. | а) б) | 17. | а) б) |
3. | а) б) | 18. | а) б) |
4. | а) б) | 19. | а) б) |
5. | а) б) | 20. | а) б) |
6. | а) б) | 21. | а) б) |
7. | а) б) | 22. | а) б) |
8. | а) б) | 23. | а) б) |
9. | а) б) | 24. | а) б) |
10. | а) б) | 25. | а) б) |
11. | а) б) | 26. | а) б) |
12. | а) б) | 27. | а) б) |
13. | а) б) | 28. | а) б) |
14. | а) б) | 29. | а) б) |
15. | а) б) | 30. | а) б) |
З а д а н и е 7. Найти производную второго порядка
1. | а) б) | 16. | а) б) |
2. | а) б) | 17. | а) б) |
3. | а) б) | 18. | а) б) |
4. | а) б) | 19. | а) б) |
5. | а) б) | 20. | а) б) |
6. | а) б) | 21. | а) б) |
7. | а) б) | 22. | а) б) |
8. | а) б) | 23. | а) б) |
9. | а) б) | 24. | а) б) |
10. | а) б) | 25. | а) б) |
11. | а) б) | 26. | а) б) |
12. | а) б) | 27. | а) б) |
13. | а) б) | 28. | а) б) |
14. | а) б) | 29. | а) б) |
15. | а) б) | 30. | а) б) |
З а д а н и е 8. Записать дифференциал функции.
1. | 16. | ||
2. | 17. | ||
3. | 18. | ||
4. | 19. | ||
5. | 20. | ||
6. | 21. | ||
7. | 22. | ||
8. | 23. | ||
9. | 24. | ||
10. | 25. | ||
11. | 26. | ||
12. | 27. | ||
13. | 28. | ||
14. | 29. | ||
15. | 30. |
З а д а н и е 9. Записать уравнения касательной и нормали к кривой в точке .
1. | а) ; б) | |
2. | а) ; б) | |
3. | а) ; б) | |
4. | а) ; б) | |
5. | а) ; б) | |
6. | а) ; б) | |
7. | а) ; б) | |
8. | а) ; б) | |
9. | а) ; б) | |
10. | а) ; б) | |
11. | а) ; б) | |
12. | а) ; б) | |
13. | а) ; б) | |
14. | а) ; б) | |
15. | а) ; б) | |
16. | а) ; б) | |
17. | а) ; б) | |
18. | а) ; б)
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
|