Задача 2

Исследовать функцию и построить её график

.

Решение:

1. Функция определена при всех значениях х, кроме х=2.

х=2-точка разрыва функции.

2. Определим асимптоты графика функции.

а) Вертикальные.

;следовательно, х=2-вертикальная асимптота.

б) Наклонные асимптоты.

Наклонные асимптоты найдем, используя формулы

. Вычислим параметры

. Следовательно,

У=х+3-наклонная асимптота графика функции.

3. Функция не является ни четной, ни нечетной, у(-х)≠у(х) и

у(-х)≠-у(х).

4. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.

Найдем первую производную

=0 при х=1 и х=3.

не существует при х=2, но в этой точке не существует и сама функция, значит, х=2 не может быть точкой экстремума, но в исследование на возрастание и убывание её включаем.

Нанесем точки: х=1, х=3, х=2 на числовую прямую и определим знак на каждом промежутке.

Видно, что х=1-точка максимум, а х=3-точка минимум.

У(1)=3, у(3)=7.

Итак, т.А(1;3) и т.В(3;7) –точки экстремума.

5. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба, для этого найдем вторую производную

в нуль не обращается, не существует при х=2(не существует и функция).

Значит, точек перегиба функция не имеет.

Нанесем х=2 на числовую прямую и найдем знаки на каждом

промежутке.

При х˂2 график выпуклый,

При х>2 график вогнутый.

6. По данным исследования построим график функции.