Формула Тейлора

В просторі візьмемо ортонормований базис , і розкладемо за ним вектор-функцію : .

Нехай функції в околі точки t₀ , мають скінченні похідні до -го порядку включно.

Для кожної скалярної функції , , запишемо формулу Тейлора в околі точки t₀ зі своїм залишковим членом та своєю проміжною точкою (i = 1,2,3):

Помножимо рівності для , , відповідно на та додамо:

Якщо має похідні довільного порядку, для неї можна скласти формальний ряд Тейлора в околі точки t₀:

Не кожний формальний ряд Тейлора збігається.

Аналітичною вектор-функцією у точці називається функція, яка має в цій точці похідні будь-якого порядку та існує окіл точки t0, в якому ряд Тейлора збігається до функції .

Позначення: – клас аналітичних функцій.